1. 选择题：
(1) 下列各组数中,不能作为直角三角形的三边长的是 (
C
)
A. 3,4,5
B. 10,6,8
C. 4,5,6
D. 12,13,5
(2) 三角形的三边长分别是 6,8,10,它最长边上的高是 (
B
)
A. 6
B. 4.8
C. 2.4
D. 8
(3) 在△ABC 中,AB= 13,AC= 15,边 BC 上的高 AD= 12,则 BC 的长为 (
C
)
A. 14
B. 4
C. 14 或 4
D. 以上都不对
答案：(1) C
(2) B
(3) C
解析：
(1) 对于选项A，$3^2 + 4^2 = 5^2$，满足勾股定理，故是直角三角形；
对于选项B，$6^2 + 8^2 = 10^2$，满足勾股定理，故是直角三角形；
对于选项C，$4^2 + 5^2 \neq 6^2$，不满足勾股定理，故不是直角三角形；
对于选项D，$5^2 + 12^2 = 13^2$，满足勾股定理，故是直角三角形。
所以不能作为直角三角形的三边长的是C选项。
(2) 已知三角形的三边长分别是6, 8, 10，根据勾股定理，$6^2 + 8^2 = 10^2$，所以这是一个直角三角形。
设最长边上的高为h，根据直角三角形的面积公式，$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × h$，解得$h = 4.8$。
(3) 在$\bigtriangleup ABC$中，已知$AB = 13$，$AC = 15$，边BC上的高$AD = 12$。
分两种情况考虑：
当$\bigtriangleup ABC$是锐角三角形时，利用勾股定理，$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = 5$，$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = 9$，所以$BC = BD + CD = 14$。
当$\bigtriangleup ABC$是钝角三角形时，利用勾股定理，$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = 5$，$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = 9$，但此时$BC = CD - BD = 4$。
2. 如图,在△ABC 中,CD 是边 AB 上的高,AD= 9,BD= 1,CD= 3. △ABC 是直角三角形吗？为什么？
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答案：是
因为$AD = 9$，$BD = 1$，所以$AB=AD + BD=9 + 1 = 10$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，已知$AD = 9$，$CD = 3$，则$AC^{2}=9^{2}+3^{2}=81 + 9 = 90$。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BC^{2}=BD^{2}+CD^{2}$，已知$BD = 1$，$CD = 3$，则$BC^{2}=1^{2}+3^{2}=1 + 9 = 10$。
$AC^{2}+BC^{2}=90 + 10 = 100$，而$AB^{2}=10^{2}=100$，所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle C = 90^{\circ}$。
1. a,b,c 是△ABC 的三边,有以下四种情况：
① a= 5,b= 12,c= 13；
② a= 8,b= 15,c= 17；
③ a:b:c= 3:4:5；
④ a= 15,b= 20,c= 25.
其中,能说明△ABC 是直角三角形的有 (
D
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：D
解析：
对于每一种情况，分别验证三边是否满足勾股定理的逆定理，即验证 $a^2 + b^2 = c^2$ 是否成立。
① 对于 $a=5, b=12, c=13$，有 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，满足条件，所以能构成直角三角形。
② 对于 $a=8, b=15, c=17$，有 $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$，满足条件，所以能构成直角三角形。
③ 对于 $a:b:c=3:4:5$，设 $a=3x, b=4x, c=5x$，则 $(3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2 = (5x)^2$，满足条件，所以能构成直角三角形。
④ 对于 $a=15, b=20, c=25$，有 $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$，满足条件，所以能构成直角三角形。
综上，四种情况都能构成直角三角形。
2. 若正整数 a,b,c 满足方程$a^{2}+b^{2}= c^{2}$,则称这一组正整数(a,b,c)为“商高数”. 下面列举 5 组“商高数”：(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(12,16,20),注意这 5 组“商高数”的结构有如下规律：
$\left\{\begin{array}{l} 4= 2×2×1,\\ 3= 2^{2}-1^{2},\\ 5= 2^{2}+1^{2};\end{array} \right.$
$\left\{\begin{array}{l} 12= 2×3×2,\\ 5= 3^{2}-2^{2},\\ 13= 3^{2}+2^{2};\end{array} \right.$
$\left\{\begin{array}{l} 6= 2×3×1,\\ 8= 3^{2}-1^{2},\\ 10= 3^{2}+1^{2};\end{array} \right.$
$\left\{\begin{array}{l} 24= 2×4×3,\\ 7= 4^{2}-3^{2},\\ 25= 4^{2}+3^{2};\end{array} \right.$
$\left\{\begin{array}{l} 16= 2×4×2,\\ 12= 4^{2}-2^{2},\\ 20= 4^{2}+2^{2}.\end{array} \right.$
根据以上规律,回答以下问题：
(1) 写出各数都大于 30 的两组“商高数”；
(2) 用两个正整数 m,n(m＞n)表示一组“商高数”,并证明你的结论.
答案：(1) 取m=7,n=4，得a=7²-4²=33，b=2×7×4=56，c=7²+4²=65，即(33,56,65)；取m=8,n=5，得a=8²-5²=39，b=2×8×5=80，c=8²+5²=89，即(39,80,89)。
(2) 一组“商高数”可表示为(m²-n²,2mn,m²+n²)，其中m,n为正整数且m＞n。
证明：(m²-n²)²+(2mn)²=m⁴-2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴=(m²+n²)²，即(m²-n²)²+(2mn)²=(m²+n²)²，故(m²-n²,2mn,m²+n²)是“商高数”。
