活动一:画一画 算一算
1.(1)阅读《数学实验手册》"实验 16 画'螺旋图'——构造长度为无理数的线段",完成实验过程1,2.与同学交流你的做法.
(2)完成实验 16 中实验过程 3,想一想:数$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},…$是怎样的数？有什么特点？
2. 说说半径为1的圆的面积和周长各是多少.
3. 说说什么是无理数.
答案：1.
(2) $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\cdots$是正无理数；特点是它们都是按照“螺旋图”构造方法得到的线段长度，且随着序号增大，其值不断增大，都是无限不循环小数。
2. 半径为$1$的圆的面积$S = \pi×1^{2}=\pi$；周长$C = 2\pi×1 = 2\pi$。
3. 无理数，也称为无限不循环小数。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
解析：
1.
(1)略
(2)数$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},…$是无理数，它们都是无限不循环小数
2. 面积是$\pi×1^{2}=\pi$，周长是$2×\pi×1=2\pi$
3. 无理数是无限不循环小数
活动二:想一想 议一议
1. 阅读课本第 70 页,尝试用书上的方法估计$\sqrt{3}$的范围(保留小数点后3位数).
2. 判断下列哪个无理数大于2小于3:
$\sqrt{3},\sqrt{6},\sqrt{11}$.
3. $\pi+1,2\sqrt{3}$是否为无理数？
答案：1. 因为$1^2 = 1$，$2^2 = 4$，所以$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$；$1.7^2 = 2.89$，$1.8^2 = 3.24$，所以$1.7 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.8$；$1.73^2 = 2.9929$，$1.74^2 = 3.0276$，所以$1.73 ＜ \sqrt{3} ＜ 1.74$；$1.732^2 = 2.999824$，$1.733^2 = 3.003289$，所以$\sqrt{3} \approx 1.732$（保留三位小数）。
2. $2^2 = 4$，$3^2 = 9$，$\sqrt{3}$中$3 ＜ 4$，则$\sqrt{3} ＜ 2$；$\sqrt{6}$中$4 ＜ 6 ＜ 9$，则$2 ＜ \sqrt{6} ＜ 3$；$\sqrt{11}$中$11 ＞ 9$，则$\sqrt{11} ＞ 3$，故答案为$\sqrt{6}$。
3. $\pi$是无理数，$1$是有理数，无理数与有理数的和是无理数，所以$\pi + 1$是无理数；$\sqrt{3}$是无理数，$2$是有理数，有理数与无理数的积是无理数，所以$2\sqrt{3}$是无理数。
