答案：(1)
$(\pm 3)^2 = 9$
$(\pm \frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$
$(0)^2 = 0$
(2)
平方根的定义：若一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，则$x$叫做$a$的平方根。
$9$的平方根是$\pm 3$；
$\frac{25}{16}$的平方根是$\pm \frac{5}{4}$；
$0$的平方根是$0$。
(3)
正数$a$的平方根是$\pm \sqrt{a}$；
它们互为相反数；
负数没有平方根。

答案：1.
(1)解：$\because(\pm5)^2=25$，$\therefore25$的平方根为$\pm5$。
(2)解：$\because(\pm\frac{4}{9})^2=\frac{16}{81}$，$\therefore\frac{16}{81}$的平方根为$\pm\frac{4}{9}$。
(3)解：$11$的平方根为$\pm\sqrt{11}$。
(4)解：$\because(\pm1.1)^2=1.21$，$\therefore1.21$的平方根为$\pm1.1$。
2.
(1)解：$\because(\pm16)^2=256$，$\therefore256$的平方根为$\pm16$。
(2)解：$1\frac{7}{9}=\frac{16}{9}$，$\because(\pm\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，$\therefore1\frac{7}{9}$的平方根为$\pm\frac{4}{3}$。
(3)解：$\because(-2)^2 = 4$，$(\pm2)^2=4$，$\therefore(-2)^2$的平方根为$\pm2$。
(4)解：$\because6^{-2}=\frac{1}{36}$，$(\pm\frac{1}{6})^2=\frac{1}{36}$，$\therefore6^{-2}$的平方根为$\pm\frac{1}{6}$。
3.
(1)解：$\because(\pm4)^2=16$，$\therefore x=\pm4$。
(2)解：$\because(\pm\frac{5}{7})^2=\frac{25}{49}$，$\therefore x=\pm\frac{5}{7}$。
(3)解：$x=\pm\sqrt{15}$。
(4)解：$x^{2}=\frac{81}{4}$，$\because(\pm\frac{9}{2})^2=\frac{81}{4}$，$\therefore x=\pm\frac{9}{2}$。
4.
解：因为$5x + 4$的平方根是$\pm1$，根据平方根的定义，若一个数$a$的平方根是$\pm b$，则$a = b^{2}$，所以$5x + 4 = (\pm1)^{2}=1$，
移项可得$5x=1 - 4=-3$，
解得$x =-\frac{3}{5}$。
依据：平方根的定义，若$a$的平方根是$\pm b$，那么$a = b^{2}$。