1. 如图,在△ABC中,D是BC的中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,作DE⊥GF,交AB于点E,连接EG.
(1)求证:BG= CF.
(2)判断BE+CF与EF的大小关系,并证明.
答案：(1)证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD．
∵BG//AC，∴∠GBD=∠FCD（两直线平行，内错角相等）．
在△BDG和△CDF中，
∠GBD=∠FCD，
BD=CD，
∠BDG=∠CDF（对顶角相等），
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴BG=CF．
(2)BE+CF＞EF．
证明：由(1)知BG=CF，△BDG≌△CDF，∴DG=DF，即D为GF中点．
∵DE⊥GF，∴DE垂直平分GF，
∴EG=EF（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）．
在△BEG中，BE+BG＞EG（三角形两边之和大于第三边），
∵BG=CF，EG=EF，∴BE+CF＞EF．
2. 如图,小宇在一次手工制作活动中,先把一张长方形纸片按图①的方式进行折叠,使折痕的左侧部分比右侧部分短1 cm;展开后按图②的方式再折叠一次,使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1 cm,将纸片展开,此时两条折痕之间的距离是
1
cm.
答案：1
解析：
设长方形纸片的长度为 $ L \, cm $。
第一次折叠：折痕左侧部分比右侧部分短 $ 1 \, cm $，设左侧长 $ a $，右侧长 $ b $，则 $ a = b - 1 $，且 $ a + b = L $。解得 $ a = \frac{L - 1}{2} $，故第一次折痕距离左侧边缘 $ \frac{L - 1}{2} \, cm $。
第二次折叠：折痕左侧部分比右侧部分长 $ 1 \, cm $，设左侧长 $ c $，右侧长 $ d $，则 $ c = d + 1 $，且 $ c + d = L $。解得 $ c = \frac{L + 1}{2} $，故第二次折痕距离左侧边缘 $ \frac{L + 1}{2} \, cm $。
两条折痕距离：$ \frac{L + 1}{2} - \frac{L - 1}{2} = 1 \, cm $。
