在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}\angle A=\angle D, \\ \angle B=\angle E, \\ BC=EF.\end{cases}$
根据全等三角形的判定定理（$AAS$：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），
可得$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。

根据“ASA”判定两个三角形全等，需要两个角和它们的夹边相等。
已知AO=DO，∠AOB=∠DOC，还需补充条件∠A=∠D。
根据“AAS”判定两个三角形全等，需要两个角和其中一个角的对边相等。
已知AO=DO，∠AOB=∠DOC，还需补充条件∠B=∠C。

当$AD,A'D'$分别是$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的中线时：
因为$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$，所以$AB = A'B'$，$BC = B'C'$，$\angle B=\angle B'$。
因为$AD,A'D'$是中线，所以$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，则$BD = B'D'$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，$\triangle ABD\cong\triangle A'B'D'$，所以$AD = A'D'$。
当$AD,A'D'$分别是$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的角平分线时：
因为$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$，所以$AB = A'B'$，$\angle B=\angle B'$，$\angle BAC=\angle B'A'C'$。
因为$AD,A'D'$是角平分线，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$，$\angle B'A'D'=\frac{1}{2}\angle B'A'C'$，则$\angle BAD=\angle B'A'D'$。
根据$ASA$（角边角）判定定理，$\triangle ABD\cong\triangle A'B'D'$，所以$AD = A'D'$。

由题意知$\angle A=\angle C$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中，$\angle A=\angle C$，$\angle ABD=\angle CDB$，$BD=DB$。
根据全等三角形的判定方法（AAS），即两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。
所以当$\angle ADB=\angle CBD$时，$\triangle ABD\cong \triangle CDB$。
当$AD=BC$时，在$\triangle ABD$和$\triangle CDB$中，$\left\{\begin{array}{l}AD=BC,\\\angle A=\angle C,\\BD=DB.\end{array}\right.$
根据全等三角形的判定方法（SAS），即两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可得$\triangle ABD\cong \triangle CDB$。
选项A，$AB=CD$，条件为边边角，不能判定$\triangle ABD\cong \triangle CDB$。
选项B，$AD// BC$，可推出$\angle ADB=\angle CBD$，为角角边条件，但已知条件中已包含角角边这一条件，添加该条件并不足以确保全等，因为缺少边边相等的条件。
选项D，$BA=BC$，为边边角条件，不能判定$\triangle ABD\cong \triangle CDB$。