12. 如图,在△ABC中,已知AB＞AC,AD⊥BC. 求证：BD＞DC.
答案：因为 AB＞AC,所以∠B＜∠C. 因为∠B+∠BAD=∠C+∠CAD=90°,所以∠BAD＞∠CAD,所以可作∠DAE=∠CAD,其中点 E 落在线段 BD 上. 根据 AD 是△AEC 的角平分线、高,可知 AD 也是中线,所以 ED=DC. 而 BD=BE+ED,所以 BD＞DC
解析：
证明：在△ABC中，AB＞AC，所以∠B＜∠C。
因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，
则∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∠B＜∠C，故∠BAD＞∠CAD。
在BD上取点E，使∠DAE=∠CAD，
因为AD是△AEC的角平分线且AD⊥EC，
所以AD是△AEC的中线，即ED=DC。
又BD=BE+ED，且BE＞0，
所以BD＞ED=DC，即BD＞DC。
13. 如图,在△ABC中,D为边BC的中点,DE⊥BC,垂足为D,交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB,垂足为F,EG⊥AC,交AC的延长线于点G,线段BF与线段CG的长有怎样的大小关系？证明你的结论.
答案：连接 EB,EC,因为 AE 是∠BAC 的平分线,且 EF⊥AB,垂足为 F,EG⊥AC,垂足为 G,所以 EF=EG. 又因为 ED⊥BC,垂足为 D,D 是 BC 的中点,所以 EB=EC. 所以 Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),故 BF=CG
解析：
BF=CG
证明：连接EB，EC。
∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF=EG。
∵D为BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC。
在Rt△EFB和Rt△EGC中，
$\begin{cases}EB=EC \\EF=EG\end{cases}$
∴Rt△EFB≌Rt△EGC（HL），
∴BF=CG。
