8. 小明在解方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 1$去分母时,方程右边的$-1$没有乘3,因而求得的解为$x = 2$,则原方程的解是(
A
)
A.$x = 0$
B.$x = -1$
C.$x = 2$
D.$x = -2$
答案：A
解析：
解：小明去分母时的方程为$2x - 1 = x + a - 1$。
将$x = 2$代入得：$2×2 - 1 = 2 + a - 1$，解得$a = 2$。
原方程为$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{3} - 1$。
去分母得：$2x - 1 = x + 2 - 3$。
移项、合并同类项得：$x = 0$。
A
9. 当$x = $
$\frac{5}{6}$
时,代数式$\frac{3x - 2}{3}的值比\frac{4x - 1}{4}$的值的2倍小1.
答案：$\frac{5}{6}$
解析：
根据题意，得$\frac{3x - 2}{3} = 2×\frac{4x - 1}{4} - 1$
去分母，两边同乘12，得$4(3x - 2) = 6(4x - 1) - 12$
去括号，得$12x - 8 = 24x - 6 - 12$
移项，得$12x - 24x = -6 - 12 + 8$
合并同类项，得$-12x = -10$
系数化为1，得$x = \frac{5}{6}$
$\frac{5}{6}$
10. 解下列方程：
(1) $\frac{2x - 1}{4} = 1 - \frac{x + 2}{3}$；
(2) $\frac{x - 3}{0.2} - \frac{x + 4}{0.5} = 1$.
答案：$(1)$ 解方程$\frac{2x - 1}{4} = 1 - \frac{x + 2}{3}$
解：
- **步骤一：去分母
方程两边同时乘以$12$（$4$和$3$的最小公倍数），得到$12×\frac{2x - 1}{4}=12×1 - 12×\frac{x + 2}{3}$。
根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$化简得：$3(2x - 1)=12 - 4(x + 2)$。
- **步骤二：去括号
根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$，$3(2x - 1)=6x-3$；$-4(x + 2)=-4x-8$，则原方程变为$6x - 3 = 12 - 4x - 8$。
- **步骤三：移项
将含有$x$的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得到$6x + 4x=12 - 8 + 3$。
- **步骤四：合并同类项
等号左边$6x + 4x = 10x$，等号右边$12 - 8 + 3=7$，则方程变为$10x = 7$。
- **步骤五：系数化为$1$
方程两边同时除以$10$，即$x=\frac{7}{10}$。
$(2)$ 解方程$\frac{x - 3}{0.2} - \frac{x + 4}{0.5} = 1$
解：
- **步骤一：将方程中的小数化为整数
根据分数的基本性质，$\frac{x - 3}{0.2}=\frac{10(x - 3)}{2}=5(x - 3)$，$\frac{x + 4}{0.5}=\frac{10(x + 4)}{5}=2(x + 4)$，原方程变为$5(x - 3)-2(x + 4)=1$。
- **步骤二：去括号
根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$，$5(x - 3)=5x-15$；$2(x + 4)=2x + 8$，则原方程变为$5x - 15 - 2x - 8 = 1$。
- **步骤三：移项
将含有$x$的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得到$5x - 2x=1 + 15 + 8$。
- **步骤四：合并同类项
等号左边$5x - 2x = 3x$，等号右边$1 + 15 + 8=24$，则方程变为$3x = 24$。
- **步骤五：系数化为$1$
方程两边同时除以$3$，即$x = 8$。
综上，$(1)$中方程的解为$x = \frac{7}{10}$；$(2)$中方程的解为$x = 8$。
11. 当$m$为何值时,代数式$2m - \frac{5m - 1}{3}的值与代数式\frac{7 - m}{2}$的值的和等于5？
答案：m=-7
解析：
根据题意，得$2m - \frac{5m - 1}{3} + \frac{7 - m}{2} = 5$
去分母，两边同乘6：$12m - 2(5m - 1) + 3(7 - m) = 30$
去括号：$12m - 10m + 2 + 21 - 3m = 30$
合并同类项：$-m + 23 = 30$
移项：$-m = 30 - 23$
计算：$-m = 7$
系数化为1：$m = -7$
12. 已知关于$x的方程\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}与\frac{x + 1}{3} = 3x - 1$的解互为倒数,求$m$的值.
答案：$m=-\frac{6}{5}$
解析：
解方程$\frac{x + 1}{3} = 3x - 1$，两边同乘3得$x + 1 = 9x - 3$，移项得$1 + 3 = 9x - x$，即$8x = 4$，解得$x = \frac{1}{2}$。
因为两方程的解互为倒数，所以第一个方程的解为$2$。
将$x = 2$代入$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$，得$\frac{2 - m}{2} = 2 + \frac{m}{3}$，两边同乘6得$3(2 - m) = 12 + 2m$，去括号得$6 - 3m = 12 + 2m$，移项得$-3m - 2m = 12 - 6$，即$-5m = 6$，解得$m = -\frac{6}{5}$。
13. 聪聪在对方程$\frac{x + 3}{3} - \frac{mx - 1}{6} = \frac{5 - x}{2}$去分母时,错误地得到了方程$2(x + 3) - mx - 1 = 3(5 - x)$,因而求得的解是$x = \frac{5}{2}$.
(1) 求$m$的值；
(2) 求原方程的解.
答案：解：$(1)$将$x=\frac 52$代入方程$2(x+3)-mx-1=3(5-x)，$得$2(\frac 52+3)-\frac 52m-1=3(5-\frac 52)，$
解得$m=1.$
$(2)$将$m=1$代入原方程，得$\frac {x+3}3-\frac {x-1}6=\frac {5-x}2，$
去分母得$2(x+3)-(x-1)=3(5-x)，$
去括号得$2x+6-x+1=15-3x$
移项$1$得$2x-x+3x=15-6-1$
合并同类项得$4x=8$
解得$x=2 .$
