7. 一个正方体,如果棱长减少$\dfrac{1}{5}$,那么表面积减少到原来的$\dfrac{(
$\frac{16}{25}$
)}{(
$\frac{16}{25}$
)}$,体积减少到原来的$\dfrac{(
$\frac{64}{125}$
)}{(
$\frac{64}{125}$
)}$;如果棱长增加$\dfrac{1}{5}$,那么表面积增加到原来的$\dfrac{(
$\frac{36}{25}$
)}{(
$\frac{36}{25}$
)}$,体积增加了$\dfrac{(
$\frac{91}{125}$
)}{(
$\frac{91}{125}$
)}$。
答案：$\frac{16}{25}$ $\frac{64}{125}$ $\frac{36}{25}$ $\frac{91}{125}$ 解析:假设正方体原来的棱长是1,棱长减少$\frac{1}{5}$就变成1×$(1-\frac{1}{5})=\frac{4}{5}$,则表面积变成$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×6$,就是原来的$(\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×6)÷(1×1×6)=\frac{16}{25}$,体积就变成原来的$(\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5})÷(1×1×1)=\frac{64}{125}$;同理,棱长增加$\frac{1}{5}$就变成1×$(1+\frac{1}{5})=\frac{6}{5}$,则表面积增加到原来的$(\frac{6}{5}×\frac{6}{5}×6)÷(1×1×6)=\frac{36}{25}$,体积增加了$(\frac{6}{5}×\frac{6}{5}×\frac{6}{5}-1×1×1)÷(1×1×1)=\frac{91}{125}$。
解析：
假设正方体原来的棱长是$1$。
棱长减少$\frac{1}{5}$后，新棱长为$1×(1 - \frac{1}{5})=\frac{4}{5}$。
原来表面积为$1×1×6 = 6$，新表面积为$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×6=\frac{16}{25}×6$，表面积是原来的$\frac{16}{25}$。
原来体积为$1×1×1 = 1$，新体积为$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}=\frac{64}{125}$，体积是原来的$\frac{64}{125}$。
棱长增加$\frac{1}{5}$后，新棱长为$1×(1 + \frac{1}{5})=\frac{6}{5}$。
新表面积为$\frac{6}{5}×\frac{6}{5}×6=\frac{36}{25}×6$，表面积是原来的$\frac{36}{25}$。
新体积为$\frac{6}{5}×\frac{6}{5}×\frac{6}{5}=\frac{216}{125}$，体积增加了$\frac{216}{125}-1=\frac{91}{125}$。
$\frac{16}{25}$，$\frac{64}{125}$，$\frac{36}{25}$，$\frac{91}{125}$
8. 南京某工艺坊要制作 160 个云锦书签。上午完成了总个数的$\dfrac{3}{10}$,下午又制作了一部分,此时已制作的书签个数与未制作的书签个数之比是$3:5$。下午制作了多少个云锦书签?
答案：160×$(\frac{3}{3+5}-\frac{3}{10})$=12(个) 解析:此题是有关分数和比的实际问题,关键是先将有关比的条件转化成有关分数的条件,再解答。
解析：
160×$(\frac{3}{3+5}-\frac{3}{10})$
=160×$(\frac{3}{8}-\frac{3}{10})$
=160×$\frac{3}{40}$
=12(个)
答：下午制作了12个云锦书签。
9. 一批货物按$5:7$分给甲、乙两个车队运输。乙车队运输了 840 吨,正好完成本队任务的$\dfrac{4}{5}$,后因另有任务调走,剩下的由甲车队全部运输完。甲车队实际运输了多少吨?
答案：840÷$(\frac{7}{7+5}×\frac{4}{5})$-840=960(吨) 解析:计划按5∶7分给甲、乙两个车队,即计划乙车队运输全部的$\frac{7}{7+5}=\frac{7}{12}$,实际乙车队运输了全部的$\frac{7}{12}×\frac{4}{5}=\frac{7}{15}$。根据分数除法的意义,全部货物共有840÷$\frac{7}{15}$=1800(吨),则甲车队实际运输了1800-840=960(吨)。
解析：
乙车队计划运输占全部的比例：$\frac{7}{5+7}=\frac{7}{12}$
乙车队实际运输占全部的比例：$\frac{7}{12}×\frac{4}{5}=\frac{7}{15}$
货物总吨数：$840÷\frac{7}{15}=1800$（吨）
甲车队实际运输吨数：$1800 - 840=960$（吨）
答：甲车队实际运输了960吨。
10. (算法探究)计算下面各题。
(1)$31\dfrac{1}{3}× \dfrac{3}{4}$
思路提示:两个数相乘,如果想要简便计算,那么可观察数的特点,先将其中一个数改写成两个数的和(差),再运用乘法分配律进行简便计算。
(2)$27× \dfrac{136}{137}+136× \dfrac{20}{137}+180× \dfrac{68}{137}$
思路提示:可以尝试从加号两边的乘法算式中找出相同的因数。
答案：
(1) $31\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$(30+\frac{4}{3})×\frac{3}{4}$=30×$\frac{3}{4}+\frac{4}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{45}{2}+1$=$\frac{47}{2}$ 解析:观察数的特点,合理拆分。
(2) $27×\frac{136}{137}+136×\frac{20}{137}+180×\frac{68}{137}$=$27×\frac{136}{137}+20×\frac{136}{137}+90×\frac{136}{137}$=$\frac{136}{137}×(27+20+90)$=$\frac{136}{137}×137$=136
11. (五育并举)操场上有 30 名学生在跑步,其中男生人数占$\dfrac{2}{5}$,后来又有几名男生加入,这时男生人数占总人数的$\dfrac{1}{2}$。后来又加入了几名男生?
思路提示:男生人数在增加,总人数也发生变化,女生人数也在变化吗?
答案：30×$(1-\frac{2}{5})÷(1-\frac{1}{2})$-30=6(名) 解析:抓住不变量“女生人数”,求出男生人数增加后跑步的总人数,再减去原来跑步的人数就得到加入的男生人数。
解析：
30×$(1-\frac{2}{5})=18$（名）
$18÷(1-\frac{1}{2})=36$（名）
$36-30=6$（名）
答：后来又加入了6名男生。
12. 现在合唱队有多少位教师?
思路提示:两个分数对应的单位“1”是不同的,而学生人数没有变化,可将学生人数看作单位“1”进行解答。
答案：10÷$(\frac{3}{7-3}-\frac{1}{4-1})$=24(名) 24×$\frac{3}{7-3}$=18(位) 解析:由题意可知,变化前后合唱队中学生的人数不变。把学生人数看作单位“1”,原来教师人数占学生的$\frac{1}{4-1}$,后来教师人数占学生的$\frac{3}{7-3}$。由此,可求出学生人数,列式为10÷$(\frac{3}{7-3}-\frac{1}{4-1})$=24(名)。据此,可直接求出现在教师有24×$\frac{3}{7-3}$=18(位)。
解析：
学生人数：$10÷\left(\frac{3}{7-3}-\frac{1}{4-1}\right)=24$（名）
现在教师人数：$24×\frac{3}{7-3}=18$（位）
答：现在合唱队有18位教师。
