答案：【解析】：
本题主要考查了控制变量法在探究电流与电阻关系实验中的应用。
在探究电流与电阻的关系时，需要采用控制变量法，即保持电阻两端的电压不变，改变电阻的大小，观察电流的变化情况。
当$R$由$5\Omega$更换为$10\Omega$后，电阻增大，根据串联电路的分压原理，电阻两端的电压会增大。为了保持电阻两端的电压不变，需要调节滑动变阻器的滑片，增大滑动变阻器接入电路的电阻，从而减小电阻$R$两端的电压，使其与原来相同。然后读出此时电流表的示数，以探究电流与电阻的关系。
接下来，对各选项进行分析：
A选项，保持滑片$P$不动，由于电阻增大，电阻两端的电压会发生变化，无法探究电流与电阻的关系，所以A选项错误。
B选项，调节滑片$P$使电流表的示数与原来相同，由于电阻改变，根据欧姆定律，电压也会改变，不符合实验要求，所以B选项错误。
C选项，调节滑片$P$，保持电压表的示数与原来相同，读出电流表的示数，符合控制变量法的要求，所以C选项正确。
D选项，多次调节滑片$P$，读出对应的电流表和电压表的示数，由于没有保持电压不变，无法准确探究电流与电阻的关系，所以D选项错误。
【答案】：C。