1. 我的理解：
循环小数就是
一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数
；
循环节就是
一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字
。
我的应用：
(1)写出下列各数的循环节。
$8.888…$(
8
)
$2.23636…$(
36
)
$14.645645…$(
645
)
(2)用简便记法表示下列各循环小数。
$5.333…$(
$5.\dot{3}$
)
$0.746746…$(
$0.\dot{7}4\dot{6}$
)
$2.105353…$(
$2.10\dot{5}\dot{3}$
)
答案：我的理解：
一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现的小数；
一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字。
我的应用：
（1）8 36 645
【点拨】循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫作这个循环小数的循环节。
（2）$5.\dot{3}$ $0.\dot{7}4\dot{6}$ $2.10\dot{5}\dot{3}$
(1)根据所发现的规律,直接写出下面各算式的得数。
$1÷11= 0.\dot{0}\dot{9}$ $2÷11= 0.\dot{1}\dot{8}$ $3÷11= 0.\dot{2}\dot{7}$
$4÷11= $
$0.\dot{3}\dot{6}$
$5÷11= $
$0.\dot{4}\dot{5}$
$6÷11= $
$0.\dot{5}\dot{4}$
$9÷11= $
$0.\dot{8}\dot{1}$
答案：$0.\dot{3}\dot{6}$ $0.\dot{4}\dot{5}$ $0.\dot{5}\dot{4}$ $0.\dot{8}\dot{1}$
【点拨】算式的规律是都和第一个算式比较，除数不变，被除数分别扩大2、3、4、5…倍，那么循环节09也分别扩大2、3、4、5…倍，据此直接写出得数即可。
(2)算一算,用循环小数表示商。
$78.6÷11= $ $0.37÷0.6= $
答案：
(1)$5÷7$的商的小数点后第99位上的数字是(
4
),第199位上的数字是(
7
)。
答案：4 7
【点拨】$5÷ 7=0.\dot{7}1428\dot{5}$，商为循环小数，一个循环节有6位，$99÷ 6=16$（个）……3（位），所以小数点后第99位上的数字是第17个循环节的第3位数字4；同理可得小数点后第199位上的数字是7。
(2)$2÷7= 0.285714285714…$,这个循环小数的小数部分第50位是数字几？小数部分前50位上的数字和是多少？
我的探究：
答案：$50÷ 6=8$（个）……2（位）
$(2+8+5+7+1+4)× 8+2+8=226$
答：这个循环小数的小数部分第50位是数字8，小数部分前50位上的数字和是226。
我的探究：
(3)学科素养·运算能力 在循环小数$0.\dot{\text{A}}\dot{\text{B}}\dot{\text{C}}$中,小数部分前60位上的数字和是120,这个循环小数最大是(
$0.\dot{5}1\dot{0}$
),最小是(
$0.\dot{0}1\dot{5}$
)。(A、B、C是三个不同的自然数)
答案：$0.\dot{5}1\dot{0}$ $0.\dot{0}1\dot{5}$
【点拨】这个循环小数的循环节有3位数字，则小数部分前60位里有$60÷ 3=20$（个）这样的循环节。$120÷ 20=6$，即每个循环节的数字和是6。三个不同的自然数相加等于6，即$0+1+5=6$，$1+2+3=6$，$2+4+0=6$，所以这个循环小数最大是$0.\dot{5}1\dot{0}$，最小是$0.\dot{0}1\dot{5}$。
(4)$a÷7$(a为小于7的非零自然数)化成循环小数之后,小数点后第2009位上的数字是7,则a是多少？
答案：a是3。
【点拨】$a÷ 7$结果的循环节始终是142857这六个数字的顺序变换。$2009÷ 6=334$（个）……5（位），即这个循环节的第5位上的数字是7，完整的循环节是428571。a从1开始尝试，$1÷ 7=0.\dot{1}4285\dot{7}$，$2÷ 7=0.\dot{2}8571\dot{4}$，$3÷ 7=0.\dot{4}2857\dot{1}$，可得a是3。
