9.(2024·南京秦淮区期中)已知方程2(x-6)= -16的解同时也是方程$a(x+3)= \frac{1}{2}a+x$的解,求$a^2-\frac{a}{2}+1$的值.
答案：由2(x-6)=-16,解得x=-2.
∵方程2(x-6)=-16的解同时也是方程a(x+3)=$\frac{1}{2}$a+x的解,
∴(-2+3)a=$\frac{1}{2}$a-2,解得a=-4，
∴a²-$\frac{a}{2}$+1=(-4)²-$\frac{-4}{2}$+1=16+2+1=19.
10.中考新考法 新定义问题 (2025·泰州泰兴期中)阅读下列材料:我们引入一种新的符号表示方式:$\left| \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array} \right|$这种符号形式称为行列式.规定:$\left| \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array} \right|=ad-bc$,例如$\left| \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array} \right|=2×5-3×4= 10-12= -2$,按照这种运算的规定,请解答下列问题:
(1)计算:$\left| \begin{array}{cc} -6 & 5 \\ 2 & 4 \end{array} \right|$=
-34
;若$\left| \begin{array}{cc} 2 & x \\ 5 & x+3 \end{array} \right|=0$,则x=
2
;
(2)直接写出$\left| \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array} \right|与\left| \begin{array}{cc} c & a \\ d & b \end{array} \right|$的数量关系;
$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}$=0
(3)请写出一个行列式,它的结果为-2.
$\begin{vmatrix}-2&0\\4&1\end{vmatrix}$
(答案不唯一)
答案：
(1)-34 2 [解析]
∵$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}$=ad-bc，
∴$\begin{vmatrix}-6&5\\2&4\end{vmatrix}$=-6×4-5×2=-24-10=-34；
∵$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}$=ad-bc，
∴$\begin{vmatrix}2&x\\5&x+3\end{vmatrix}$=2(x+3)-5x，
∴2(x+3)-5x=0，去括号,得2x+6-5x=0，移项、合并同类项,得-3x=-6，将系数化为1,得x=2.
(2)$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}$=0,理由如下：
∵$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}$=ad-bc,$\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}$=bc-ad，
∴$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}$+$\begin{vmatrix}c&a\\d&b\end{vmatrix}$=ad-bc+bc-ad=0.
(3)如$\begin{vmatrix}-2&0\\4&1\end{vmatrix}$=-2×1-0=-2(答案不唯一).
11.中考新考法 过程纠错改错 我们定义[x]表示小于等于x的最大整数,例如:[12.2]= 12,[0.24]= 0.阅读下列解题过程,然后回答问题.
解方程:[3.2](x-1)+[2.4]= [-4.9].
解:由题意,得原方程化为3(x-1)+2= -4,
去括号,得3x-3+2= -4,
移项、合并同类项,得3x= -3,
方程两边同时除以3,得x= -1.
(1)判断以上解题过程是否正确?若不正确,请说明理由,并写出正确解题过程.
(2)根据材料,解方程[-6.1](-x+2)-[11.3]= [6.6]·2x.
答案：
(1)不正确.理由:[ -4,9 ]=-5.正确解题过程如下：原方程可化为3(x-1)+2=-5，去括号,得3x-3+2=-5，移项、合并同类项,得3x=-4，方程两边同时除以3,得x=-$\frac{4}{3}$.
(2)原方程可化为-7(-x+2)-11=6×2x，去括号,得7x-14-11=12x，移项、合并同类项,得-5x=25，方程两边同时除以-5,得x=-5.
12.新情境 选数字猜出生年份 (2024·长沙中考)为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是______.
[答案]：2009 [解析]设这位参与者的出生年份为x,选取的数字为m，由题意,得(10m+4.6)×10+1978-x=915，
∴100m+46+1978-x=915，
∴x=1019+100m.
∵此时中学生的出生时间应该在2000年后，
∴隐含条件不能遗漏
∴m=9,
∴x=2009.归纳总结 本题考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识,理解题意列出关系式进行推理是解题关键.
2009
答案：2009 [解析]设这位参与者的出生年份为x,选取的数字为m，由题意,得(10m+4.6)×10+1978-x=915，
∴100m+46+1978-x=915，
∴x=1019+100m.
∵此时中学生的出生时间应该在2000年后，
∴隐含条件不能遗漏
∴m=9,
∴x=2009.归纳总结 本题考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识,理解题意列出关系式进行推理是解题关键.
