12. 中考新考法 证明一般结论 如果$x^n= y$,那么我们规定$(x,y)= n$.例如:因为$3^2= 9$,所以$(3,9)= 2$.
(1)根据上述规定,填空:$(2,8)=$
3
,$(3,81)=$
4
;
(2)记$(4,4)= a$,$(4,16)= b$,$(4,64)= c$.试说明:$a+b= c$.
因为$(4,4)=a$,$(4,16)=b$,$(4,64)=c$,所以$4^{a}=4$,$4^{b}=16$,$4^{c}=64$,所以$a=1$,$b=2$,$c=3$,所以$a+b=c$.
答案：
(1)3 4 [解析]$2^{3}=8$,$3^{4}=81$.
(2)因为$(4,4)=a$,$(4,16)=b$,$(4,64)=c$,所以$4^{a}=4$,$4^{b}=16$,$4^{c}=64$,所以$a=1$,$b=2$,$c=3$,所以$a+b=c$.
13. 观察下列两组算式:
①$2^2×3^2与(2×3)^2$;
②$(-\frac{1}{2})^2×2^2与[(-\frac{1}{2})×2]^2$.
(1)每组两个算式的结果是否相等?
(2)根据(1)的结果猜想$a^nb^n$等于什么?
(3)用(2)的结论计算$(\frac{1}{5})^{2025}×(-5)^{2025}$.
答案：
(1)因为$2^{2}×3^{2}=4×9=36$,$(2×3)^{2}=6^{2}=36$,$(-\frac{1}{2})^{2}×2^{2}=\frac{1}{4}×4=1$,$[(-\frac{1}{2})×2]^{2}=(-1)^{2}=1$,所以每组两个算式的计算结果是相等的.
(2)根据
(1)的结果,得$a^{n}b^{n}=(ab)^{n}$.
(3)$(\frac{1}{5})^{2025}×(-5)^{2025}=[\frac{1}{5}×(-5)]^{2025}=(-1)^{2025}=-1$.
14. 已知小东的身高为1.62m,一张纸的厚度约为0.09mm.
(1)请通过计算说明小东的身高是纸的厚度的多少倍.
(2)若将这张纸连续对折5次,这时它的厚度是多少?
(3)假设连续对折始终是可能的,那么对折多少次后,所得的厚度可以超过小东的身高?
(提示:$2^{13}= 8192$,$2^{14}= 16384$,$2^{15}= 32768$,$2^{16}= 65536$)
答案：
(1)
∵1.62 m=1 620 mm,
∴小东的身高是纸的厚度的1 620÷0.09=18 000(倍).
(2)连续对折五次,纸张的厚度是$0.09×2^{5}=2.88(mm)$.
(3)
∵$2^{14}=16384＜18000$,$2^{15}=32768＞18000$,
∴至少对折15次后,所得的厚度可以超过小东的身高.
15. 中考新考法 新定义运算 (2024·甘肃中考)定义一种新运算*,规定运算法则为:$m*n= m^n - mn$(m,n均为整数,且m≠0).例如:$2*3= 2^3 - 2×3= 2$,则$(-2)*2= $
8
.
答案：8 [解析]
∵$m*n=m^{n}-mn$,
∴$(-2)*2=(-2)^{2}-(-2)×2=4+4=8$.
