10. 中考新考法 新定义问题 若定义一种新的运算“*”,规定有理数$a*b= 4ab$,如$2*3= 4×2×3= 24$.
(1)求$3*(-4)$的值；
(2)求$(-2)*(6*3)$的值.
答案：
(1)3*(-4)=4×3×(-4)=-48.
(2)(-2)*(6*3)=(-2)*(4×6×3)=(-2)*72=4×(-2)×72=-576.
11.(2025·山东菏泽期中)[阅读]
我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则.在学习此内容时,掌握了法则,同时也学会了分类思考.
[探索]
(1)若$ab= 6$,则$a+b$的值为：
①正数；②负数；③0.
你认为结果可能是
①②
；(填序号)
(2)若$a+b= -5$,且a,b为整数,则$ab$的最大值为
6
；
[拓展]
(3)数轴上A,B两点分别对应有理数a,b,若$ab＜0$,试比较$a+b$与0的大小.
因为ab＜0，所以a，b异号。设a＞0，则b＜0，若|a|＞|b|，则a+b＞0；若|a|=|b|，则a+b=0；若|a|＜|b|，则a+b＜0。设b＞0，则a＜0，若|a|＞|b|，则a+b＜0；若|a|=|b|，则a+b=0；若|a|＜|b|，则a+b＞0。
答案：
(1)①② [解析]因为ab=6,所以a,b同号且不为0,所以当a,b同为正数时,a+b＞0;当a,b同为负数时,a+b＜0.
(2)6 [解析]因为ab最大,所以a,b同号.因为a+b=-5,所以a,b同为负数.因为a,b为整数,所以a,b分别为-1和-4,此时ab=4,或a,b分别为-2和-3,此时ab=6.所以ab的最大值为6.
(3)因为ab＜0,所以a,b异号.设a＞0,则b＜0,若|a|＞|b|,则a+b＞0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＜0.设b＞0,则a＜0,若|a|＞|b|,则a+b＜0;若|a|=|b|,则a+b=0;若|a|＜|b|,则a+b＞0.
一题多解 第
(1)问中,还可以利用特殊值方法方便快速判断,由题意可知a,b为同号,
∴a+b≠0.可以取值:a=2,b=3或a=-2,b=-3,解得a+b=5或a+b=-5,由此判断①②正确.
12.(2025·重庆期中)已知a为最大的负整数,$|b|= 1$,$|c|= 5$,且$bc＞0$,$b+c＞0$,请解决下列问题：
(1)$a=$
-1
,$b=$
1
,$c=$
5
.
(2)在数轴上,a,b,c所对应的点分别为点A,B,C,点P为数轴上点A,B之间一点(不包括点A,B),其对应的数为x,化简：$|x+1|-3|x-1|-2|x-5|$.
∵点P为数轴上点A,B之间一点(不包括点A,B),其对应的数为x,
∴-1＜x＜1,
∴x+1＞0,x-1＜0,x-5＜0,
∴|x+1|-3|x-1|-2|x-5|=x+1-3(1-x)-2(5-x)=x+1-3+3x-10+2x=6x-12.
(3)在(2)的条件下,点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向数轴负方向运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒5个单位长度的速度向数轴正方向运动.设运动时间为t秒,则$BC-AB$的值是否随时间t的变化而变化？若变化,请说明理由；若不变,请求出该值.
BC-AB的值不随时间t的变化而变化,理由如下:由题意,得运动t秒后,BC=(5+5t)-(1+2t)=4+3t,AB=t+1+1+2t=3t+2,
∴BC-AB=(4+3t)-(3t+2)=4+3t-3t-2=2,
∴BC-AB的值不随时间t的变化而变化,为2.
答案：
(1)-1 1 5
(2)
∵点P为数轴上点A,B之间一点(不包括点A,B),其对应的数为x,
∴-1＜x＜1,
∴x+1＞0,x-1＜0,x-5＜0,
∴|x+1|-3|x-1|-2|x-5|=x+1-3(1-x)-2(5-x)=x+1-3+3x-10+2x=6x-12.
(3)BC-AB的值不随时间t的变化而变化,理由如下:由题意,得运动t秒后,BC=(5+5t)-(1+2t)=4+3t,AB=t+1+1+2t=3t+2,
∴BC-AB=(4+3t)-(3t+2)=4+3t-3t-2=2,
∴BC-AB的值不随时间t的变化而变化,为2.
