1. 如图,点 C 为线段 AB 的中点,D,E 分别为线段 AC,BC 上的一点,且 $AD + BE = m$,$AE + BD = \frac{7}{3}m$,若分别用含 m 的代数式来表示 DE 与 CB 的长,则 $DE = \underline{
$\frac{2}{3}m$
}$,$CB = \underline{
$\frac{5}{6}m$
}$.
———A——D——C——E——B——
(第 1 题)
答案：$\frac{2}{3}m$ $\frac{5}{6}m$ [解析] $\because AE+BD=\frac{7}{3}m$,$\therefore AD+BE+2DE=\frac{7}{3}m$. $\because AD+BE=m$,$\therefore 2DE=\frac{7}{3}m - m=\frac{4}{3}m$,即 $DE=\frac{2}{3}m$,$\therefore AB=AD+BE+DE=m+\frac{2}{3}m=\frac{5}{3}m$.$\because$ 点 C 为线段 AB 的中点,$\therefore CB=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{6}m$.
解析：
$\frac{2}{3}m$ $\frac{5}{6}m$
2. 如图,点 C 分线段 AB 为 5∶7,点 D 分线段 AB 为 5∶11,若 $CD = 10\ cm$,求 AB 的长.
———A——D——C——B——
(第 2 题)
答案：$\because$ 点 C 分线段 AB 为 $5:7$,点 D 分线段 AB 为 $5:11$,$\therefore AC=\frac{5}{12}AB,AD=\frac{5}{16}AB,\therefore CD=AC - AD=\frac{5}{12}AB - \frac{5}{16}AB=\frac{5}{48}AB$.又 $CD=10\mathrm{cm},\therefore AB=96\mathrm{cm}$.
解析：
$\because$ 点 C 分线段 AB 为 $5:7$，$\therefore AC=\frac{5}{5+7}AB=\frac{5}{12}AB$。
$\because$ 点 D 分线段 AB 为 $5:11$，$\therefore AD=\frac{5}{5+11}AB=\frac{5}{16}AB$。
$\because CD=AC-AD$，$\therefore CD=\frac{5}{12}AB-\frac{5}{16}AB=\frac{20}{48}AB-\frac{15}{48}AB=\frac{5}{48}AB$。
$\because CD=10\ cm$，$\therefore \frac{5}{48}AB=10$，解得 $AB=10×\frac{48}{5}=96\ cm$。
3. 如图,已知线段 $AB = 8\ cm$,点 C 是线段 AB 上一点,$AC = 3\ cm$,M 是 AB 的中点,N 是 AC 的中点.
(1)求线段 CM 的长；
(2)求线段 MN 的长.
———A——N——C——M——B——
(第 3 题)
答案：
(1)$\because AB=8\mathrm{cm}$,M 是 AB 的中点,$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{cm}$.$\because AC=3\mathrm{cm},\therefore CM=AM - AC=4 - 3=1(\mathrm{cm})$.
(2)$\because AB=8\mathrm{cm},AC=3\mathrm{cm}$,M 是 AB 的中点,N 是 AC 的中点,$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=4(\mathrm{cm}),AN=\frac{1}{2}AC=1.5(\mathrm{cm})$,$\therefore MN=AM - AN=4 - 1.5=2.5(\mathrm{cm})$.
4. 方程思想 如图,A,B,C,D 四点在同一直线上.
(1)若 $AB = CD$.
①比较线段的大小：$AC\ \underline{\quad\quad}\ BD$(填“＞”“＝”或“＜”)；
②若 $BC = \frac{3}{4}AC$,且 $AC = 12\ cm$,则 AD 的长为 $\underline{\quad\quad}\ cm$.
(2)若线段 AD 被点 B,C 分成了 3∶4∶5 三部分,且 AB 的中点 M 和 CD 的中点 N 之间的距离是 $16\ cm$,求 AD 的长.
———A——B——C——D——
(第 4 题)
答案：(1)①= [解析] $\because AB=CD$,$\therefore AB+BC=CD+BC$,即 $AC=BD$.②15 [解析] $\because BC=\frac{3}{4}AC$,且 $AC=12\mathrm{cm}$,$\therefore BC=\frac{3}{4}× 12=9(\mathrm{cm})$,$\therefore AB=CD=AC - BC=12 - 9=3(\mathrm{cm})$,$\therefore AD=AC+CD=12+3=15(\mathrm{cm})$.
(2)如图所示，
根据题意,可设 $AB=3x\mathrm{cm},BC=4x\mathrm{cm},CD=5x\mathrm{cm}$,$AD=12x\mathrm{cm}$.$\because$ M 是 AB 的中点,N 是 CD 的中点,$\therefore AM=BM=\frac{3}{2}x\mathrm{cm},CN=DN=\frac{5}{2}x\mathrm{cm}$.又 $MN=16\mathrm{cm},\therefore \frac{3}{2}x+4x+\frac{5}{2}x=16$,解得 $x=2$,$\therefore AD=12x=24\mathrm{cm}$.
5. 分类讨论思想 已知线段 $AB = 8\ cm$,在直线 AB 上画线段 $BC = 3\ cm$,求 AC 的长.
答案：由 $AB=8\mathrm{cm},BC=3\mathrm{cm}$,得当点 C 在线段 AB 上时,$AC=AB - BC=8 - 3=5(\mathrm{cm})$;当点 C 在线段 AB 的延长线上时,$AC=AB+BC=8+3=11(\mathrm{cm})$.故 AC 的长为 $5\mathrm{cm}$ 或 $11\mathrm{cm}$.
解析：
当点$C$在线段$AB$上时，$AC = AB - BC = 8 - 3 = 5\ cm$；当点$C$在线段$AB$的延长线上时，$AC = AB + BC = 8 + 3 = 11\ cm$。故$AC$的长为$5\ cm$或$11\ cm$。
