例3 $ (0.1+0.21+0.321)×(0.21+0.321+0.4321)-(0.1+0.21+0.321+0.4321)×(0.21+0.321) $
我的尝试
我的思考
观察每个括号里的数,发现几个括号里的数都比较复杂,但是都有相同的部分,我们可以把相同的部分用字母来代替,这种方法叫作“换元法”。
将较短的式子 $ 0.21+0.321 $ 用 $ m $ 代替,$ 0.21+0.321+0.4321 $ 用 $ n $ 代替,这样可以使算式更简洁,计算也更加简便。我们来算一算吧！
我的解答
$ (0.1+0.21+0.321)×(0.21+0.321+0.4321)-(0.1+0.21+0.321+0.4321)×(0.21+0.321) $
$ =(0.1+m)×n-(0.1+n)×m $
$ =0.1n+mn-0.1m-mn $
$ =0.1n-0.1m $
$ =0.1(n-m) $
那么 $ n-m $ 是多少呢？
仔细观察算式,$ n $ 和 $ m $ 相差( ),
所以 $ n-m= ( ) $,
因此,$ 0.1(n-m)= ( ) $。
答案：解析：本题可通过换元法，将式子中重复出现的部分用一个新的字母表示，从而简化计算。设$a = 0.1 + 0.21 + 0.321$，$b = 0.21 + 0.321$。那么原式可转化为$a×(b + 0.4321)-(a + 0.4321)× b$。接下来展开式子：$\;\;\;\;a×(b + 0.4321)-(a + 0.4321)× b$$=ab+0.4321a - (ab + 0.4321b)$$=ab+0.4321a - ab - 0.4321b$$=0.4321a - 0.4321b$提取公因式$0.4321$可得：$0.4321×(a - b)$。把$a = 0.1 + 0.21 + 0.321$，$b = 0.21 + 0.321$代入$a - b$可得：$a - b=(0.1 + 0.21 + 0.321)-(0.21 + 0.321)=0.1$。所以$0.4321×(a - b)=0.4321×0.1 = 0.04321$。答案：$0.04321$。
@@解析：本题主要考查了换元法在小数巧算中的应用，通过将复杂的式子用字母代替，简化计算过程。设$m = 0.21 + 0.321$，$n = 0.21 + 0.321 + 0.4321$。则原式可转化为：$(1 + 0.21 + 0.321 + 0.4321) × (0.21 + 0.321 + 0.4321 + 0.54321) - (1 + 0.21 + 0.321 + 0.4321 + 0.54321) × (0.21 + 0.321 + 0.4321)$$= (1 + n) × (n + 0.54321) - (1 + n + 0.54321) × n$接下来进行展开与化简：$(1 + n) × (n + 0.54321) = n + 0.54321 + n^2 + 0.54321n = n^2 + 1.54321n + 0.54321$$(1 + n + 0.54321) × n = n + n^2 + 0.54321n = n^2 + 1.54321n$最后进行相减：$(n^2 + 1.54321n + 0.54321) - (n^2 + 1.54321n) = 0.54321$答案：0.54321
@@0.4321；0.4321；0.04321
1. $ 314×0.45+62.8×2.6+9.42 $
2. $ 41.2×8.1+11×9.25+537×0.19 $
3. $ (1.5+2.5+3.5+…+2023.5)×(2.5+3.5+4.5+…+2024.5)-(1.5+2.5+3.5+4.5+…+2024.5)×(2.5+3.5+4.5+…+2023.5) $
答案：1. 314×0.45+62.8×2.6+9.42=31.4×4.5+31.4×2×2.6+31.4×0.3=31.4×4.5+31.4×5.2+31.4×0.3=31.4×(4.5+5.2+0.3)= 31.4×10=314
2. 41.2×8.1+11×9.25+537×0.19=4.12×81+11×9.25+5.37×19=4.12×81+(4.12+1.25)×19+11×9.25=4.12×81+4.12×19+1.25×19+11×9.25=4.12×(81+19)+1.25×19+11×(8+1.25)=412+1.25×19+11×8+11×1.25=412+11×8+1.25×(19+11)= 412+88+37.5=537.5
3. 令a=2.5+3.5+…+2023.5,b=2.5+3.5+4.5+…+2024.5,则b-a=2024.5(1.5+2.5+3.5+…+2023.5)×(2.5+3.5+4.5+…+2024.5)-(1.5+2.5+3.5+4.5+…+2024.5)×(2.5+3.5+4.5+…+2023.5)=(1.5+a)×b-(1.5+b)×a=1.5b+ab-1.5a-ab=1.5(b-a)=1.5×2024.5=3036.75
