1. 观察下列等式：$7^{0}= 1$,$7^{1}= 7$,$7^{2}= 49$,$7^{3}= 343$,$7^{4}= 2401$,$7^{5}= 16807$,…,根据其中的规律可得$7^{0}+7^{1}+7^{2}+…+7^{2025}$的结果的个位数字是(
D
)
A.0
B.1
C.7
D.8
答案：D
解析：
解：观察等式，$7^n$的个位数字依次为1，7，9，3，循环周期为4。
一个周期内个位数字之和为$1+7+9+3=20$，个位数字是0。
$0+1+2+\dots+2025$共有$2026$项，$2026÷4=506\cdots\cdots2$，即506个完整周期余前2项。
506个周期个位数字之和为$506×0=0$，余下两项个位数字为1和7，和为$1+7=8$。
故结果的个位数字是8。
答案：D
2. 观察下列等式：$2^{2}-2^{1}= 2^{1}$,$2^{3}-2^{2}= 2^{2}$,$2^{4}-2^{3}= 2^{3}$……
探究其中的规律,并解答下列问题：
(1)请直接写出第 4 个等式为
$2^{5}-2^{4}=2^{4}$
；第 n 个等式为
$2^{n+1}-2^{n}=2^{n}$
；
(2)计算：$2^{1}-2^{2}-2^{3}-2^{4}-…-2^{2023}+2^{2024}$。
解:原式$=(2^{2024}-2^{2023})-2^{2022}-\cdots -2^{2}+2^{1}=2^{2023}-2^{2022}-2^{2021}-\cdots -2^{2}+2^{1}=2^{2}+2^{1}=4+2=6.$
答案：(1)$2^{5}-2^{4}=2^{4}$ $2^{n+1}-2^{n}=2^{n}$
(2)解:原式$=(2^{2024}-2^{2023})-2^{2022}-\cdots -2^{2}+2^{1}=2^{2023}-2^{2022}-2^{2021}-\cdots -2^{2}+2^{1}=2^{2}+2^{1}=4+2=6.$
3. 相传,古印度舍罕王准备重赏大臣达依尔——国际象棋的发明人,就把他召进宫来,问他有什么要求,达依尔说：“陛下,请您在这张棋盘的第一格内赏我一粒麦子,在第二格内给两粒,在第三格内给四粒,照这样下去,以后每格内的小麦数都是前一格的 2 倍,一直放到第 64 格,这些小麦就是我要的奖赏。”国王一听,这点小麦算什么,就满口答应了。经过计算,国王傻了眼,原来这些小麦全国要几百年才能种植出来。你能计算出国王共需要赏多少粒小麦吗？
答案：解:设国王共需要赏 S 粒小麦,根据题意,得$S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}$,①则$2S=2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{64}$,②②-①,得$S=2^{64}-1.$答:国王共需要赏$(2^{64}-1)$粒小麦.
