7. 若n是整数,则n+1,n+3表示 (
C
)
A.两个奇数
B.两个偶数
C.两个整数
D.两个正整数
答案：C
解析：
n是整数，n+1与n+3均为整数。当n为偶数时，n+1和n+3是两个奇数；当n为奇数时，n+1和n+3是两个偶数；当n为负整数时，n+1和n+3可能为负整数。综上，n+1，n+3一定表示两个整数。
C
8. 某品牌电脑原价为m元,先降价n元,又降低20%,两次降价后的售价为 (
A
)
A.$\frac{4}{5}(m-n)$元
B.$(\frac{4}{5}m-n)$元
C.$\frac{1}{5}(m-n)$元
D.$(\frac{1}{5}m-n)$元
答案：A
解析：
原价为$m$元，先降价$n$元，此时价格为$(m - n)$元。又降低$20\%$，则降价后的售价为$(m - n)(1 - 20\%) = (m - n)×\frac{4}{5} = \frac{4}{5}(m - n)$元。
A
9. (2024·张家港期末)一组按规律排列的式子:$-\frac{2}{a},\frac{5}{2a^{3}},-\frac{8}{3a^{5}},\frac{11}{4a^{7}},…$,第n个式子是(n为正整数) (
D
)
A.$(-1)^{n+1}\frac{3n-1}{na^{2n-1}}$
B.$(-1)^{n}\frac{3n-1}{(n+1)a^{2n-1}}$
C.$(-1)^{n}\frac{2n+1}{na^{2n-1}}$
D.$(-1)^{n}\frac{3n-1}{na^{2n-1}}$
答案：D
解析：
观察式子符号：第1个为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，规律为$(-1)^n$。
分子：第1个为2，第2个为5，第3个为8，第4个为11，相邻两数差3，首项为2，规律为$3n - 1$。
分母：系数依次为1，2，3，4，规律为$n$；字母部分$a$的指数依次为1，3，5，7，规律为$2n - 1$，故分母为$na^{2n - 1}$。
综上，第$n$个式子是$(-1)^n\frac{3n - 1}{na^{2n - 1}}$。
D
10. 教材变式题 观察下列式子:$1^{2}-1= 1×0;2^{2}-2= 2×1;3^{2}-3= 3×2;4^{2}-4= 4×3;5^{2}-5= 5×4;…$用字母n(n为正整数)表示一般规律为
$n^2 -n=n(n-1)$
.
答案：$n^2 -n=n(n-1)$
11. (1)n是整数,试用含n的数学式子表示:①三个连续的整数;②三个连续的偶数;③比四个连续整数的积大1的数;④任意一个奇数.
(2)m是整数,试用含m的数学式子表示:①被3整除商为m的数;②比被m除商n余r的数少m的数.
(3)一个六位数,最高位上的数字为1,剩余五位数是x,用含x的数学式子表示将1移到最低位所得到的数.
答案：解:
(1)①n,n+1,n+2. ②2n,2n+2,2n+4. ③n(n+1)·(n+2)(n+3)+1. ④2n+1. (答案不唯一)
(2)①3m. ②mn+r-m.
(3)10x+1.
12. 观察以下等式:
第一个等式:$3^{2}-1= 9-1= 2×(1+3)$;
第二个等式:$3^{3}-1= 27-1= 2×(1+3+9)$;
第三个等式:$3^{4}-1= 81-1= 2×(1+3+9+27)……$
按照上述规律,解决下列问题:
(1)写出第四个等式______
$3^5 -1=243-1=2×(1+3+9+27+81)$
;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并说明理由.
解:第 n 个等式:$3^{n+1}-1=2×(1+3+9+…+3^n)$,理由如下:设 S=1+3+9+…+$3^{n-1}+3^n$,①则 3S=3+9+27+…+$3^n +3^{n+1}$,②②-①,得 2S=$3^{n+1}-1$,即 $3^{n+1}-1=2×(1+3+9+…+3^n)$.
答案：$(1)3^5 -1=243-1=2×(1+3+9+27+81)(2)$解:第 n 个等式:$3^{n+1}-1=2×(1+3+9+…+3^n)$,理由如下:设 S=1+3+9+…+$3^{n-1}+3^n$,①则 3S=3+9+27+…+$3^n +3^{n+1}$,②②-①,得 2S=$3^{n+1}-1$,即 $3^{n+1}-1=2×(1+3+9+…+3^n)$.
