6. 如图,线段$CD在线段AB$上运动,$M$,$N分别是线段AC$,$BD$的中点,则$MN = \frac{1}{2}(AB + CD)$,试说明理由.
答案：解:因为M是AC的中点,所以MC=$\frac{1}{2}$AC.因为N是BD的中点,所以DN=$\frac{1}{2}$BD.因为MN=MC+CD+DN,所以MN=$\frac{1}{2}$AC+CD+$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$(AC+BD)+CD.因为AC+BD=AB - CD,所以MN=$\frac{1}{2}$(AB - CD)+CD=$\frac{1}{2}$AB+$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$(AB+CD).
7. 如图,线段$AB = 3$,$BC = 2AB$,$D是AB$的中点,$E是AC$的中点.
(1)求$DE$的长；
(2)$B是线段DE$的中点吗？若是,请说明理由.
答案：解:
(1)因为AB=3,BC=2AB,所以BC=6,AC=AB+BC=9.因为D是AB的中点,E是AC的中点,所以AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$,AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{9}{2}$,所以DE=AE - AD=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}$=3.
(2)B是线段DE的中点.理由如下:因为AE=$\frac{9}{2}$,AB=3,所以BE=AE - AB=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$.因为D是AB的中点,所以DB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$,所以DB=BE,所以B是线段DE的中点.
8. 已知线段$AB = 6cm$,$C为AB$的中点,$D是AB$上一点,且$CD = 2cm$,求线段$BD$的长.
答案：解:因为C为AB的中点,所以BC=$\frac{1}{2}$AB=3 cm.分以下两种情况讨论:①点D在线段AC上,则BD=BC+CD.因为CD=2 cm,所以BD=BC+CD=3+2=5(cm).②点D在线段BC上,则BD=BC - CD=3 - 2=1(cm).综上,线段BD的长为5 cm或1 cm.
9. 已知$A$,$B$,$C$三点在同一条直线上,$M$,$N分别为AB$,$BC$的中点,且$AB = 60$,$BC = 40$,求$MN$的长.
答案：解:分两种情况.①若点C在点A,B之间,如答图①所示,因为M,N分别为AB,BC的中点,所以BM=$\frac{1}{2}$AB,BN=$\frac{1}{2}$BC.因为MN=BM - BN,所以MN=$\frac{1}{2}$(AB - BC)=$\frac{1}{2}$×(60 - 40)=10. ②若点C在线段AB的延长线上,如答图②所示.因为M,N分别为AB,BC的中点,所以BM=$\frac{1}{2}$AB,BN=$\frac{1}{2}$BC.因为MN=MB+BN,所以MN=$\frac{1}{2}$(AB+BC)=$\frac{1}{2}$×(60+40)=50.综上,MN的长为10或50.
10. (2024·沭阳期末)如图,$C为线段AB$上一点,$AC = 12cm$,$CB = 6cm$,$D$,$E分别是AC$,$AB$的中点.
(1)求$DE$的长度；
(2)若点$F在直线AB$上,且$FB = 4cm$,求线段$AF$的长度.
答案：解:
(1)因为AC=12 cm,CB=6 cm,所以AB=AC+BC=12+6=18(cm).因为D,E分别是AC,AB的中点,所以AE=$\frac{1}{2}$AB=9 cm,AD=$\frac{1}{2}$AC=6 cm,所以DE=AE - AD=9 - 6=3(cm).
(2)如答图①,若点F在线段BC上,则AF=AB - BF=18 - 4=14(cm);如答图②,若点F在线段BC的延长线上,则AF=AB+BF=18+4=22(cm).综上,线段AF的长度为14 cm或22 cm.
