答案：(1)解：方程两边同乘$x(x + 1)$，得$2(x + 1)=3x$
去括号，得$2x + 2 = 3x$
移项、合并同类项，得$-x=-2$
解得$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$x(x + 1)=2×3 = 6≠0$
所以原分式方程的解为$x = 2$
(2)解：方程两边同乘$(x - 1)(x + 1)$，得$2(x + 1)=3(x - 1)$
去括号，得$2x + 2 = 3x - 3$
移项、合并同类项，得$-x=-5$
解得$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$(x - 1)(x + 1)=4×6 = 24≠0$
所以原分式方程的解为$x = 5$
(3)解：原方程可化为$\frac{x}{x - 1}-\frac{2}{x - 1}=2$
方程两边同乘$x - 1$，得$x - 2 = 2(x - 1)$
去括号，得$x - 2 = 2x - 2$
移项、合并同类项，得$-x = 0$
解得$x = 0$
检验：当$x = 0$时，$x - 1=-1≠0$
所以原分式方程的解为$x = 0$
(4)解：原方程可化为$\frac{x - 3}{x - 2}+1=-\frac{3}{x - 2}$
方程两边同乘$x - 2$，得$x - 3 + (x - 2)=-3$
去括号，得$x - 3 + x - 2=-3$
移项、合并同类项，得$2x = 2$
解得$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$x - 2=-1≠0$
所以原分式方程的解为$x = 1$
(5)解：方程两边同乘$(x - 1)(2x + 1)$，得$2x + 1 = 5(x - 1)$
去括号，得$2x + 1 = 5x - 5$
移项、合并同类项，得$-3x=-6$
解得$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$(x - 1)(2x + 1)=1×5 = 5≠0$
所以原分式方程的解为$x = 2$
(6)解：方程两边同乘$(x - 1)(x + 1)$，得$x(x + 1)=4 + (x - 1)(x + 1)$
去括号，得$x^2 + x = 4 + x^2 - 1$
移项、合并同类项，得$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$(x - 1)(x + 1)=2×4 = 8≠0$
所以原分式方程的解为$x = 3$
(7)解：方程两边同乘$x + 3$，得$2x = 1 + (x + 3)$
去括号，得$2x = 1 + x + 3$
移项、合并同类项，得$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$x + 3=7≠0$
所以原分式方程的解为$x = 4$
(8)解：方程两边同乘$x(x - 2)$，得$(x - 2)^2 - 3x = x(x - 2)$
去括号，得$x^2 - 4x + 4 - 3x = x^2 - 2x$
移项、合并同类项，得$-5x=-4$
解得$x=\frac{4}{5}$
检验：当$x = \frac{4}{5}$时，$x(x - 2)=\frac{4}{5}×(-\frac{6}{5})=-\frac{24}{25}≠0$
所以原分式方程的解为$x=\frac{4}{5}$
(9)解：原方程可化为$\frac{1}{2}-\frac{1}{3x - 1}=\frac{9}{2(3x - 1)}$
方程两边同乘$2(3x - 1)$，得$(3x - 1)-2 = 9$
去括号，得$3x - 1 - 2 = 9$
移项、合并同类项，得$3x = 12$
解得$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$2(3x - 1)=2×11 = 22≠0$
所以原分式方程的解为$x = 4$
(10)解：原方程可化为$\frac{3}{x - 2}-\frac{x}{2(x - 2)}=\frac{1}{2}$
方程两边同乘$2(x - 2)$，得$6 - x=(x - 2)$
去括号，得$6 - x = x - 2$
移项、合并同类项，得$-2x=-8$
解得$x = 4$
检验：当$x = 4$时，$2(x - 2)=2×2 = 4≠0$
所以原分式方程的解为$x = 4$