1. 下列式子中,哪些是整式？哪些是分式？
$ \frac { y } { x }, \frac { x - y } { 3 \pi }, \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } y, - \frac { x } { 4 }, \frac { 2 x + y } { x - y }, - \frac { 5 } { a }, \frac { a - b } { 2 }, 4 a, \frac { 2 } { 2 + y }, \frac { x ^ { 2 } } { x }, \frac { x + y } { x y }. $
答案：解:整式为$\frac{x-y}{3\pi}$,$\frac{1}{3}x^{2}y$,$-\frac{x}{4}$,$\frac{a-b}{2}$,$4a$;分式为$\frac{y}{x}$,$\frac{2x+y}{x-y}$,$-\frac{5}{a}$,$\frac{2}{2+y}$,$\frac{x^{2}}{x}$,$\frac{x+y}{xy}$.
2. $ x $取何值时,下列分式有意义？
(1) $ \frac { x + 2 } { 2 x - 3 } $; (2) $ \frac { 6 ( x + 3 ) } { | x | - 12 } $; (3) $ \frac { x + 6 } { x ^ { 2 } + 1 } $.
答案：解:(1)要使$\frac{x+2}{2x-3}$有意义,则$2x-3≠0$,即$x≠\frac{3}{2}$.∴当$x≠\frac{3}{2}$时,$\frac{x+2}{2x-3}$有意义.(2)要使$\frac{6(x+3)}{|x|-12}$有意义,则$|x|-12≠0$,即$x≠±12$.∴当$x≠±12$时,$\frac{6(x+3)}{|x|-12}$有意义.(3)要使$\frac{x+6}{x^{2}+1}$有意义,则$x^{2}+1≠0$,即$x$为任意实数.∴$x$为任意实数时,$\frac{x+6}{x^{2}+1}$有意义.
解析：
解：(1)要使分式$\frac{x+2}{2x-3}$有意义，则分母$2x - 3 \neq 0$，解得$x \neq \frac{3}{2}$。
(2)要使分式$\frac{6(x + 3)}{|x| - 12}$有意义，则分母$|x| - 12 \neq 0$，即$|x| \neq 12$，解得$x \neq \pm 12$。
(3)要使分式$\frac{x + 6}{x^2 + 1}$有意义，则分母$x^2 + 1 \neq 0$。因为$x^2 \geq 0$，所以$x^2 + 1 \geq 1$，即$x^2 + 1$恒不为$0$，故$x$为任意实数。
3. 若式子$ \frac { 2 x + 1 } { 3 y - 1 } $无意义,求代数式$ ( y + x ) ( y - x ) + x ^ { 2 } $的值.
答案：解:∵式子$\frac{2x+1}{3y-1}$无意义,∴$3y-1=0$,解得$y=\frac{1}{3}$,原式$=y^{2}-x^{2}+x^{2}=y^{2}=(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$.
解析：
解：∵式子$\frac{2x+1}{3y-1}$无意义，
∴$3y - 1 = 0$，
解得$y = \frac{1}{3}$。
原式$=(y + x)(y - x) + x^2$
$=y^2 - x^2 + x^2$
$=y^2$
当$y = \frac{1}{3}$时，原式$=(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。
答：代数式的值为$\frac{1}{9}$。
4. 当$ x $为何值时,分式$ \frac { 3 - x } { x ^ { 2 } - 2 x + 1 } $的值为正数？
答案：解:∵$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}≥0$,且当$x^{2}-2x+1=0$,即$x=1$时,分式无意义,∴$x^{2}-2x+1＞0$,∴只有当$3-x＞0$且$x≠1$时,才能使分式$\frac{3-x}{x^{2}-2x+1}$的值为正数,∴当$x＜3$且$x≠1$时,分式$\frac{3-x}{x^{2}-2x+1}$的值为正数.
解析：
解：要使分式$\frac{3 - x}{x^2 - 2x + 1}$的值为正数，需分子与分母同号。
因为$x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2$，且$(x - 1)^2\geq0$，又因为分式有意义时分母不能为$0$，所以$(x - 1)^2＞0$，即$x\neq1$。
此时分母恒为正数，要使分式的值为正数，则分子也必须为正数，即$3 - x＞0$，解得$x＜3$。
综上，当$x＜3$且$x\neq1$时，分式$\frac{3 - x}{x^2 - 2x + 1}$的值为正数。
5. 已知当$ x = - 4 $时,分式$ \frac { x - b } { 2 x + a } $无意义；当$ x = 2 $时,此分式的值为 0,求分式$ \frac { a + b } { a - 3 b } $的值.
答案：解:∵当$x=-4$时,分式无意义,∴当$x=-4$时,$2x+a=0$,解得$a=8$.∵当$x=2$时,分式的值为0,∴当$x=2$时,$x-b=0$,解得$b=2$.∴$\frac{a+b}{a-3b}=\frac{8+2}{8-3×2}=5$.
解析：
解：∵当$x=-4$时，分式$\frac{x - b}{2x + a}$无意义，
∴当$x=-4$时，$2x + a = 0$，即$2×(-4) + a = 0$，解得$a = 8$。
∵当$x=2$时，分式$\frac{x - b}{2x + a}$的值为0，
∴当$x=2$时，$x - b = 0$且$2x + a ≠ 0$，即$2 - b = 0$，解得$b = 2$。
∴$\frac{a + b}{a - 3b} = \frac{8 + 2}{8 - 3×2} = \frac{10}{2} = 5$。
6. 若$ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } = 3 $,求$ \frac { a + b } { 2 a - a b + 2 b } $的值.
答案：解:∵$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3$,∴$\frac{a+b}{ab}=3$,即$a+b=3ab$.∴$\frac{a+b}{2a-ab+2b}=\frac{a+b}{2(a+b)-ab}=\frac{3ab}{6ab-ab}=\frac{3}{5}$.
