在直角三角形中,如果一个锐角等于$30^{\circ }$,那么它所对的直角边等于
斜边的一半
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答案：斜边的一半
1. 如图,小明沿倾斜角$∠ABC= 30^{\circ }$的山坡从山脚 B 点步行到山顶 A,共走了 500 m,则山的高度 AC 是
250 m
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答案：250 m
解析：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=500m。
因为在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
所以AC=AB×$\frac{1}{2}$=500×$\frac{1}{2}$=250m。
250 m
2. 如图,在$△ABC$中,$∠A= 30^{\circ },AB= BC$,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,若沿直线 DE 折叠,点 A 恰好与点 B 重合,且$CE= 6$,则$∠EBC= $
90
$^{\circ },AC= $
9
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答案：90 9
解析：
解：在△ABC中，AB=BC，∠A=30°，
∴∠A=∠C=30°，∠ABC=180°-30°-30°=120°。
由折叠知，DE垂直平分AB，AE=BE，
∴∠A=∠ABE=30°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=120°-30°=90°。
在Rt△BEC中，∠C=30°，CE=6，
∴BE=1/2CE=3，
∴AE=BE=3，
∴AC=AE+CE=3+6=9。
∠EBC=90°，AC=9。
3. 如图,在等边$△ABC$中,M 是 BC 的中点,$MN⊥AB$,垂足为 N,连接 AM,求证:$AM= 2MN.$
答案：证明:∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=60°.
∵M 为 BC 的中点，
∴AM⊥BC,∠BAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°.
∵MN⊥AB,∴AM=2MN.
4. (2024 春·锦江区期末)如图,在等边$△ABC$中,BD 平分$∠ABC$,点 E 是 BC 延长线上一点,且$CE= CD$,连接 DE,求$∠BDE$的度数.
答案：解:∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°,BD⊥AC，
即∠BDC=90°.
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB=∠CDE+∠E，
∴2∠CDE=60°，
∴∠CDE=30°，
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°.
5. 如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },∠B= 30^{\circ }$,DE 是 AB 的垂直平分线,垂足为 E,DE 交 BC 于点 D,连接 AD.
(1)求证:$DC= DE;$
(2)若$CD= 3$,求 BD 的长.
答案：(1)证明:∵DE 是 AB 的垂直平分线,∴DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA=30°.
∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAD=∠BAD=30°.
∵DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE.
(2)解:∵DC=DE,CD=3,∴DE=3.
∵∠B=30°,DE⊥AB,∴BD=2DE=6.
