1.(2023 秋·烟台期中)观察下面的变形规律:$\frac {1}{1×2}= \frac {1}{1}-\frac {1}{2};\frac {1}{2×3}= \frac {1}{2}-\frac {1}{3};\frac {1}{3×4}= \frac {1}{3}-\frac {1}{4};... $
解答下面的问题:
(1)若n为正整数,仿照上述规律,请你猜想$\frac {1}{n(n+1)}=$;
(2)说明你猜想的正确性;
解（证明）：
右边$=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}=\frac{n + 1}{n(n + 1)}-\frac{n}{n(n + 1)}=\frac{n + 1 - n}{n(n + 1)}=\frac{1}{n(n + 1)}$，左边$=\frac{1}{n(n + 1)}$，所以左边$=$右边，猜想正确。
(3)计算:$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+... +\frac {1}{2015×2016}=$;
(4)解关于n的分式方程:$\frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+... +\frac {1}{n(n+1)}= \frac {n+7}{n+9}.$
解：
方程$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+...+\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{n + 7}{n + 9}$，即$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})=\frac{n + 7}{n + 9}$。
化简得$1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n + 7}{n + 9}$，即$\frac{n + 1-1}{n + 1}=\frac{n + 7}{n + 9}$，$\frac{n}{n + 1}=\frac{n + 7}{n + 9}$。
交叉相乘得$n(n + 9)=(n + 7)(n + 1)$。
展开得$n^{2}+9n=n^{2}+n+7n + 7$。
移项得$n^{2}+9n-(n^{2}+n + 7n)=7$。
合并同类项得$n^{2}+9n - n^{2}-8n = 7$，即$n = 7$。
检验：当$n = 7$时，$(n + 1)(n + 9)=(7 + 1)×(7 + 9)=8×16 = 128\neq0$。
所以$n = 7$是原分式方程的解。