答案：
$75^{\circ}$ 点拨:如答图,过点 $M$ 作 $MF// AB$ 交 $OA$ 于点 $F$.
　　　　　　　
　∵$MF// AB$,∴$\angle MFO=\angle BAO=\angle AOB = 60^{\circ}$,
　∴$\triangle MOF$ 为等边三角形，∴$\angle FMO = 60^{\circ},MF = MO$.
　∵$\triangle MNE$ 是等边三角形,∴$\angle NME = 60^{\circ},MN = ME$,
　∴$\angle FMN+\angle NMO=\angle NMO+\angle OME = 60^{\circ}$,
　∴$\angle FMN=\angle OME$.
　在 $\triangle MFN$ 和 $\triangle MOE$ 中, $\left\{\begin{array}{l}MF = MO,\\ \angle FMN=\angle OME,\\ MN = ME,\end{array}\right.$
　∴$\triangle MFN\cong \triangle MOE(SAS)$,∴$\angle MFN=\angle MOE = 60^{\circ}$.
　∵$\angle EMO = 45^{\circ}$,
　∴$\angle MEO = 180^{\circ}-\angle MOE-\angle EMO$
　$=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}$
　$=75^{\circ}$.

答案：
(1) ∵$DE\perp OB,\angle DEF = 60^{\circ},\therefore \angle OEF = 30^{\circ}$,
　∴$\angle OFE = 180^{\circ}-\angle OEF-\angle EOF = 30^{\circ}$,
　∴$\angle OEF=\angle OFE,\therefore OE = OF$.
　∵$OC$ 平分 $\angle AOB,\therefore DO$ 垂直平分 $EF$,
　∴$DE = DF,\therefore \triangle DEF$ 是等腰三角形.
　又 ∵$\angle DEF = 60^{\circ},\therefore \triangle DEF$ 是等边三角形.
　(2) 如答图，在线段 $OD$ 上截取 $OH = OE$, 连接 $EH$.
　∵$\angle AOB = 120^{\circ},OC$ 平分 $\angle AOB,\therefore \angle EOD=\angle FOD = 60^{\circ}$
　∵$OE = OH,\therefore \triangle OEH$ 是等边三角形，
　∴$EH = OE = OH,\angle EHO = 60^{\circ}=\angle OEH=\angle DEF,\therefore \angle EHD = 120^{\circ}=\angle EOF,\angle DEH=\angle FEO$,
　∴$\triangle DEH\cong \triangle FEO(ASA)$,
　∴$DH = OF,\therefore OD = OH + DH = OE + OF$.