23. (8分)将$a$克糖放入水中,得到$b$克糖水,此时糖水的含糖量我们可以记为$\frac {a}{b}(b＞a＞0)$.
(1)再往杯中加入$m(m＞0)$克糖,生活中的经验告诉我们糖水变甜了,用数学关系式可以表示为(
A
)
A. $\frac {a+m}{b+m}＞\frac {a}{b}$ B. $\frac {a+m}{b+m}= \frac {a}{b}$ C. $\frac {a+m}{b+m}＜\frac {a}{b}$
(2)请证明你的选择.
证明: $\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{ab + bm - ab - am}{b(b + m)} = \frac{(b - a)m}{b(b + m)}$. $\because m ＞ 0, b ＞ a ＞ 0, \therefore b - a ＞ 0, \therefore \frac{(b - a)m}{b(b + m)} ＞ 0, \therefore \frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$ 成立.
答案：(1)A (2)证明: $\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{ab + bm - ab - am}{b(b + m)} = \frac{(b - a)m}{b(b + m)}$. $\because m ＞ 0, b ＞ a ＞ 0, \therefore b - a ＞ 0, \therefore \frac{(b - a)m}{b(b + m)} ＞ 0, \therefore \frac{a + m}{b + m} ＞ \frac{a}{b}$ 成立.
24. (8分)某列车平均提速60km/h.用相同的时间,该列车提速前行驶200km,提速后比提速前多行驶100km,求提速前该列车的平均速度.
| |路程/km|速度/(km/h)|时间/h|
|提速前|200|$x$|$\frac {200}{x}$|
|提速后|$200+100$|
$x + 60$
|
$\frac{300}{x + 60}$
|
(1)设提速前该列车的平均速度为$x$km/h,补全表格；
(2)列出方程并解答.
(2)解: 由题意得 $\frac{200}{x} = \frac{300}{x + 60}$, 解得 $x = 120$. 经检验, $x = 120$ 是原分式方程的解, 且符合题意. 答: 提速前该列车的平均速度为 $120\ km/h$.
答案：(1)$x + 60$ $\frac{300}{x + 60}$ (2)解: 由题意得 $\frac{200}{x} = \frac{300}{x + 60}$, 解得 $x = 120$. 经检验, $x = 120$ 是原分式方程的解, 且符合题意. 答: 提速前该列车的平均速度为 $120\ km/h$.
25. (9分)(2024春·深圳期中)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年的销售额为90万元,今年的销售额只有80万元.
(1)今年5月份A款汽车每辆的售价为多少万元？
(2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知A款汽车每辆的进价为7.5万元,B款汽车每辆的进价为6万元,公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆,有哪几种进货方案？
答案：解: (1) 设今年 5 月份 A 款汽车每辆的售价为 $x$ 万元. 根据题意, 得 $\frac{90}{x + 1} = \frac{80}{x}$, 解得 $x = 8$. 经检验, $x = 8$ 是原分式方程的解. 答: 今年 5 月份 A 款汽车每辆的售价为 8 万元. (2) 设购进 A 款汽车 $y$ 辆, 则购进 B 款汽车 $(15 - y)$ 辆. 根据题意, 得 $\begin{cases}7.5y + 6(15 - y) ＜ 105, \\ 7.5y + 6(15 - y) ＞ 99,\end{cases}$ 解得 $6 ＜ y ＜ 10$. $\because y$ 为正整数, $\therefore y$ 可取 7, 8, 9, $\therefore$ 有 3 种进货方案, 分别为 方案一: 购进 A 款汽车 7 辆, 购进 B 款汽车 8 辆; 方案二: 购进 A 款汽车 8 辆, 购进 B 款汽车 7 辆; 方案三: 购进 A 款汽车 9 辆, 购进 B 款汽车 6 辆.
