解：设长方形的长为 $ x $，宽为 $ \frac{4}{x} $（$ x ＞ 0 $），则长方形面积为 $ x \cdot \frac{4}{x} = 4 $（面积一定）。
根据“在面积一定的长方形中，正方形的周长最短”，当长方形为正方形时，长和宽相等，即 $ x = \frac{4}{x} $。
解得 $ x^2 = 4 $，$ x = 2 $（$ x ＞ 0 $）。
此时 $ x + \frac{4}{x} = 2 + \frac{4}{2} = 4 $，故最小值为 4。
答案：D

解：$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$
$=\frac{b^2+a^2}{ab}$
$=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
当$a+b=5$，$ab=3$时，
原式$=\frac{5^2-2×3}{3}$
$=\frac{25-6}{3}$
$=\frac{19}{3}$
$\frac{19}{3}$

解：分别对各分母进行因式分解：
$3x^{2}(x - y)$ 已分解
$2x - 2y = 2(x - y)$
$4xy$ 已分解
确定最简公分母：
系数：取 3、2、4 的最小公倍数 12
字母因式：$x$ 的最高次幂 $x^{2}$，$y$ 的最高次幂 $y$，$(x - y)$ 的最高次幂 $(x - y)$
最简公分母为 $12x^{2}y(x - y)$
答案：$12x^{2}y(x - y)$

$a^{2}b\cdot ab^{-1}=a^{2}\cdot a\cdot b\cdot b^{-1}=a^{2+1}\cdot b^{1-1}=a^{3}\cdot b^{0}=a^{3}\cdot1=a^{3}$
答案：$a^{3}$

解：$(1-\frac{1}{a+1})(\frac{1}{a^{2}}-1)$
$=(\frac{a+1}{a+1}-\frac{1}{a+1})(\frac{1}{a^{2}}-\frac{a^{2}}{a^{2}})$
$=\frac{a}{a+1}\cdot\frac{1 - a^{2}}{a^{2}}$
$=\frac{a}{a+1}\cdot\frac{(1 - a)(1 + a)}{a^{2}}$
$=\frac{1 - a}{a}$

(1)
解：$\frac{a+3b}{a}=2$
$1+\frac{3b}{a}=2$
$\frac{3b}{a}=1$
$\frac{b}{a}=\frac{1}{3}$
(2)
解：$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=5$
$\frac{b-a}{ab}=5$
$b-a=5ab$
$a-b=-5ab$
$\frac{3a-5ab-3b}{a-3ab-b}=\frac{3(a-b)-5ab}{(a-b)-3ab}=\frac{3(-5ab)-5ab}{-5ab-3ab}=\frac{-15ab-5ab}{-8ab}=\frac{-20ab}{-8ab}=\frac{5}{2}$
答案：(1)$\frac{1}{3}$；(2)$\frac{5}{2}$

解：方程两边同乘最简公分母$(x - 1)(x + 1)$，得
$2(x + 1) - 2 = 3(x - 1)$
去括号，得$2x + 2 - 2 = 3x - 3$
化简，得$2x = 3x - 3$
移项，得$3x - 2x = 3$
解得$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$(x - 1)(x + 1) = (3 - 1)(3 + 1) = 8 ≠ 0$
所以原分式方程的解是$x = 3$
$x = 3$

解：解不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+2}{3}＞\frac {x}{2}+1\\ 4x+a＜x-1\end{array}\right.$
解第一个不等式：
$\frac{x + 2}{3}＞\frac{x}{2} + 1$
两边同乘 6：$2(x + 2)＞3x + 6$
$2x + 4＞3x + 6$
$-x＞2$
$x＜ - 2$
解第二个不等式：
$4x + a＜x - 1$
$3x＜ - 1 - a$
$x＜\frac{ - 1 - a}{3}$
因为不等式组解集为$x＜ - 2$，所以$\frac{ - 1 - a}{3}≥ - 2$
$-1 - a≥ - 6$
$-a≥ - 5$
$a≤5$
解分式方程$\frac{a + 2}{y - 1}+\frac{y + 2}{1 - y}=2$
化为$\frac{a + 2}{y - 1}-\frac{y + 2}{y - 1}=2$
$\frac{a + 2 - y - 2}{y - 1}=2$
$\frac{a - y}{y - 1}=2$
$a - y = 2(y - 1)$
$a - y = 2y - 2$
$-3y = -a - 2$
$y=\frac{a + 2}{3}$
因为方程解为正数，所以$\frac{a + 2}{3}＞0$，$a + 2＞0$，$a＞ - 2$
且$y≠1$，即$\frac{a + 2}{3}≠1$，$a + 2≠3$，$a≠1$
综上，$-2＜a≤5$且$a≠1$，整数$a$为$-1,0,2,3,4,5$
和为$-1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 5 = 13$
13

设第一次分钱的人数为$x$，根据题意，第一次每人分得$\frac{10}{x}$元，第二次人数为$x + 6$人，每人分得$\frac{40}{x + 6}$元，因为两次每人所得钱数相同，所以可列方程为$\frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6}$。
$\frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6}$