9. 如图,$AD是\triangle ABC$的中线,$CE是AB$边上的高,$AB= 4$,$S_{\triangle ADC}= 6$,则$CE= $(
D
)
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：D
解析：
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵S△ADC=6，
∴S△ABD=S△ADC=6，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=12，
∵CE是AB边上的高，AB=4，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$·AB·CE，
即12=$\frac{1}{2}$×4×CE，
解得CE=6。
答案：D
10. 三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称为“灵动三角形”.例如,三个内角分别为$120^{\circ },40^{\circ },20^{\circ }$的三角形是“灵动三角形”.如图,$∠MON= 60^{\circ }$,在射线$OM上找一点A$,过点$A作AB⊥OM交ON于点B$,以点$A为端点作射线AD$,交线段$OB于点C$(规定$0^{\circ }＜∠OAC＜90^{\circ }$).有下列结论：①$∠ABO的度数为30^{\circ }$；②$\triangle AOB$是“灵动三角形”；③若$∠BAC= 70^{\circ }$,则$\triangle AOC$是“灵动三角形”；④当$\triangle ABC$是“灵动三角形”时,$∠OAC为30^{\circ }或52.5^{\circ }$.其中正确结论的个数是(
C
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：
解：①∵AB⊥OM，∴∠OAB=90°，∵∠MON=60°，∴∠ABO=180°-90°-60°=30°，①正确。
②∠OAB=90°，∠MON=60°，∠ABO=30°，90°=3×30°，∴△AOB是“灵动三角形”，②正确。
③∠BAC=70°，∠OAB=90°，∴∠OAC=90°-70°=20°，∠AOC=60°，∠ACO=180°-60°-20°=100°，100°不是60°或20°的3倍，60°不是20°的3倍，∴△AOC不是“灵动三角形”，③错误。
④设∠OAC=α，则∠BAC=90°-α，∠ABC=30°，∠ACB=180°-30°-(90°-α)=60°+α。
情况1：∠ABC=3∠BAC，30°=3(90°-α)，α=80°(舍，0°＜α＜90°但此时∠ACB=140°，不满足)；
情况2：∠BAC=3∠ABC，90°-α=3×30°，α=0°(舍)；
情况3：∠ACB=3∠ABC，60°+α=3×30°，α=30°；
情况4：∠ABC=3∠ACB，30°=3(60°+α)，α=-50°(舍)；
情况5：∠ACB=3∠BAC，60°+α=3(90°-α)，α=52.5°；
情况6：∠BAC=3∠ACB，90°-α=3(60°+α)，α=-22.5°(舍)；
综上，α=30°或52.5°，④正确。
正确结论个数为3，选C。
11. 为使一个四边形木架不变形,我们会沿其对角线钉一根木条,这是利用了三角形的
稳定性
.
答案：稳定性
12. 若三角形的两边长分别为2和5,第三边长为$a$,则$a$的取值范围是
$3 ＜ a ＜ 7$
.
答案：$3 ＜ a ＜ 7$
解析：
解：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
5 - 2 ＜ a ＜ 5 + 2
3 ＜ a ＜ 7
故答案为：3 ＜ a ＜ 7
13. 一个多边形的每个内角都相等,且每个内角的度数都是与它相邻外角度数的3倍,则这是
八
边形.
答案：八
解析：
设这个多边形的每个外角的度数为$x$，则每个内角的度数为$3x$。
因为多边形的一个内角与它相邻的外角互补，所以$x + 3x = 180^\circ$，
解得$4x = 180^\circ$，$x = 45^\circ$。
由于多边形的外角和为$360^\circ$，所以这个多边形的边数为$360^\circ ÷ 45^\circ = 8$。
八
14. 如图,在直角三角形$ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= 3$,$BC= 4$,$AB= 5$,则点$C到AB$的距离为
2.4
.
答案：2.4
解析：
解：设点$C$到$AB$的距离为$h$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
又$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot h$，$AB = 5$，
$\therefore \frac{1}{2} × 5 × h = 6$，解得$h = \frac{12}{5} = 2.4$。
2.4
15. 如图,$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= n\cdot 90^{\circ }$,则$n= $
6
.
答案：6
解析：
连接BF，设BC与GF交于点O。
在△GOC中，∠G + ∠C + ∠GOC = 180°；在△BOF中，∠OBF + ∠OFB + ∠BOF = 180°。
因为∠GOC = ∠BOF，所以∠G + ∠C = ∠OBF + ∠OFB。
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = ∠A + ∠B + (∠OBF + ∠OFB) + ∠D + ∠E + ∠F = ∠A + (∠B + ∠OBF) + (∠OFB + ∠F) + ∠D + ∠E = ∠A + ∠ABF + ∠BFG + ∠D + ∠E。
五边形ABFED的内角和为(5 - 2)×180° = 540°，即∠A + ∠ABF + ∠BFG + ∠D + ∠E = 540°。
所以∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = 540° = 6×90°，则n = 6。
6
16. 如图是一副三角板拼成的图案,则$∠AED$的度数为
105
$^{\circ }$.
答案：105
17. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 56^{\circ }$,点$D在AB$上,过点$D作DE// BC$,交$AC于点E$,$DP平分∠ADE$,交$∠ACB的平分线于点P$,$CP与DE相交于点G$,$∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q$,则$∠DQC= $
28
$^{\circ }$.
答案：1. 首先，因为$DE// BC$：
根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle ADE=\angle B$，$\angle AED = \angle ACB$。
已知$\angle A = 56^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}$，所以$\angle B+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 124^{\circ}$。
又因为$\angle ACF=\angle A+\angle B$（三角形外角性质）。
2. 然后，根据角平分线的性质：
因为$DP$平分$\angle ADE$，设$\angle ADP=\angle PDE=\frac{1}{2}\angle ADE$；$CP$平分$\angle ACB$，设$\angle ACG=\angle BCG=\frac{1}{2}\angle ACB$；$CQ$平分$\angle ACF$，设$\angle ACQ=\angle FCQ=\frac{1}{2}\angle ACF$。
由$\angle ACF=\angle A+\angle B$，可得$\angle FCQ=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$。
又因为$\angle DGC=\angle BCG+\angle B$（三角形外角性质，$\angle DGC$是$\triangle BCG$的外角），且$\angle PDE=\frac{1}{2}\angle B$。
根据三角形外角性质$\angle DQC=\angle FCQ - \angle PDE$。
把$\angle FCQ=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$，$\angle PDE=\frac{1}{2}\angle B$代入$\angle DQC=\angle FCQ - \angle PDE$中。
则$\angle DQC=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)-\frac{1}{2}\angle B$。
3. 最后，化简求解：
对$\angle DQC=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)-\frac{1}{2}\angle B$进行化简，根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，这里$a=\frac{1}{2}$，$b = \angle A$，$c=\angle B$，$\angle DQC=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle B-\frac{1}{2}\angle B$。
所以$\angle DQC=\frac{1}{2}\angle A$。
已知$\angle A = 56^{\circ}$，则$\angle DQC = 28^{\circ}$。
故答案为：$28$。
解析：
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB。
∵DP平分∠ADE，
∴∠PDE=∠ADP=1/2∠ADE=1/2∠B。
∵CQ平分∠ACF，∠ACF=180°-∠ACB，
∴∠QCF=1/2∠ACF=90°-1/2∠ACB。
∵∠A=56°，
∴∠B+∠ACB=180°-∠A=124°。
在△DQC中，∠DQC=180°-∠QDC-∠QCD。
∠QDC=∠ADP=1/2∠B，∠QCD=∠QCF=90°-1/2∠ACB，
∴∠DQC=180°-1/2∠B-(90°-1/2∠ACB)=90°-1/2(∠B-∠ACB)。
又∠B+∠ACB=124°，
∴∠DQC=90°-1/2(124°-2∠ACB-∠ACB)（此步可简化为）
=90°-1/2(∠B+∠ACB)=90°-1/2×124°=90°-62°=28°。
28
18. (6分)一个三角形的三边长是三个连续的奇数,且三角形的周长小于30,求这个三角形三边的长.
答案：解:依题意设三角形的三边长分别为 $x - 2,x,x + 2$，$\therefore \left\{\begin{array}{l} x - 2 + x + x + 2 ＜ 30,\\ x - 2 ＞ 0,\end{array}\right.$ 解得 $2 ＜ x ＜ 10$，$\therefore x$ 最大取 9，最小取 3，且 $x$ 为奇数。当 $x = 9$ 时，三边的长分别为 7，9，11；当 $x = 7$ 时，三边的长分别为 5，7，9；当 $x = 5$ 时，三边的长分别为 3，5，7；当 $x = 3$ 时，三边的长分别为 1，3，5，此时不能构成三角形。综上，这个三角形三边的长分别为 7，9，11 或 5，7，9 或 3，5，7。
解析：
解：设三角形的三边长分别为 $x - 2$，$x$，$x + 2$（$x$ 为奇数）。
根据题意，得：
$\begin{cases}(x - 2) + x + (x + 2) ＜ 30 \\x - 2 ＞ 0\end{cases}$
解得：$2 ＜ x ＜ 10$。
因为 $x$ 为奇数，所以 $x$ 可取 3，5，7，9。
当 $x = 3$ 时，三边长为 1，3，5，$1 + 3 = 4 ＜ 5$，不能构成三角形；
当 $x = 5$ 时，三边长为 3，5，7，$3 + 5 ＞ 7$，能构成三角形；
当 $x = 7$ 时，三边长为 5，7，9，$5 + 7 ＞ 9$，能构成三角形；
当 $x = 9$ 时，三边长为 7，9，11，$7 + 9 ＞ 11$，能构成三角形。
综上，这个三角形三边的长分别为 3，5，7 或 5，7，9 或 7，9，11。
