1. 在一个直角三角形中,一个锐角是$40^{\circ }$,另一个锐角是 (
B
)
A.$70^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$10^{\circ }$
答案：B
解析：
直角三角形两锐角和为$90^{\circ }$，另一个锐角为$90^{\circ } - 40^{\circ } = 50^{\circ }$
B
2. (2024秋·阳泉期中)如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CD⊥AB$于点D.若$∠A= 35^{\circ }$,则$∠BCD$的度数为 (
B
)
A.$40^{\circ }$
B.$35^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$25^{\circ }$
答案：B
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=35^{\circ}$，
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$。
$\because CD\perp AB$，
$\therefore \angle CDB=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle CDB$中，$\angle BCD=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$。
B
3. (2023春·南京期末)直角三角形中两个锐角的差为$20^{\circ }$,则较小的锐角度数是
35
$^{\circ }$.
答案：35
解析：
设较小的锐角度数为$x$，则另一个锐角度数为$x + 20^{\circ}$。
因为直角三角形的两个锐角和为$90^{\circ}$，所以可得方程：
$x + (x + 20^{\circ}) = 90^{\circ}$
$2x + 20^{\circ} = 90^{\circ}$
$2x = 90^{\circ} - 20^{\circ}$
$2x = 70^{\circ}$
$x = 35^{\circ}$
35
4. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,CD是边AB上的高,$∠1= 32^{\circ }$,求$∠2,∠B,∠A$的度数.
答案：解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠1=32°,
∴∠2=90°-∠1=90°-32°=58°.
∵CD是边AB上的高,
∴∠BDC=∠ADC=90°,
∴∠A=90°-∠1=90°-32°=58°,∠B=90°-∠2=90°-58°=32°.
5. 具备下列条件的$△ABC$中,不是直角三角形的是 (
D
)
A.$∠A+∠B= ∠C$
B.$∠A-∠B= ∠C$
C.$∠A:∠B:∠C= 1:2:3$
D.$∠A= ∠B= 3∠C$
答案：D
解析：
A.
∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，是直角三角形；
B.
∵∠A-∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，是直角三角形；
C.
∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×$\frac{3}{1+2+3}$=90°，是直角三角形；
D.
∵∠A=∠B=3∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴3∠C+3∠C+∠C=180°，∠C=$\frac{180°}{7}$，∠A=∠B=$\frac{540°}{7}$≠90°，不是直角三角形。
D
6. 如图,$△ABC与△CDE$均为直角三角形,AB交CD于点F,$∠ACB= ∠CDE= 90^{\circ },∠B= 30^{\circ },∠E= 45^{\circ },∠ECB= α$,则$∠CFB= $ (
C
)
A.$α+90^{\circ }$
B.$α+45^{\circ }$
C.$105^{\circ }-α$
D.$180^{\circ }-α$
答案：C
解析：
在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠B=30^{\circ}$，则$∠A=180^{\circ}-∠ACB-∠B=60^{\circ}$。
在$△CDE$中，$∠CDE=90^{\circ}$，$∠E=45^{\circ}$，则$∠DCE=180^{\circ}-∠CDE-∠E=45^{\circ}$。
因为$∠ECB=α$，$∠ACB=90^{\circ}$，所以$∠ACF=∠ACB - ∠ECB - ∠DCE=90^{\circ}-α - 45^{\circ}=45^{\circ}-α$。
在$△AFC$中，$∠AFC=180^{\circ}-∠A - ∠ACF=180^{\circ}-60^{\circ}-(45^{\circ}-α)=75^{\circ}+α$。
因为$∠AFC$与$∠CFB$互补，所以$∠CFB=180^{\circ}-∠AFC=180^{\circ}-(75^{\circ}+α)=105^{\circ}-α$。
C
7. 有一道题:“如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,将$△ABC$沿DE折叠,使得点B落在边AC上的点F处,若$∠CFD= 60^{\circ }$,且$△AEF$中有两个内角相等,求$∠A$的度数.”嘉嘉的答案是$∠A= 40^{\circ }$,淇淇说:“嘉嘉考虑得不全而,$∠A$还应该有另外一个值.”下列判断正确的是 (
B
)
A.淇淇说得不对,$∠A就是40^{\circ }$
B.淇淇说得对,且$∠A的另一个值是50^{\circ }$
C.淇淇说得对,且$∠A的另一个值是55^{\circ }$
D.两人都不对,$∠A$应有三个不同值
答案：B
解析：
设∠A=x，∠B=90°-x。
由折叠得∠DFE=∠B=90°-x，∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED。
∵∠CFD=60°，∠C=90°，
∴∠CDF=30°，∠FDB=150°，∠FDE=∠BDE=75°。
情况1：∠AEF=∠AFE
∠AFD=180°-∠CFD=120°，∠AFE=∠AFD-∠DFE=120°-(90°-x)=30°+x。
∠AEF=∠AFE=30°+x。
在△AEF中，∠A+∠AEF+∠AFE=180°，x+2(30°+x)=180°，解得x=40°。
情况2：∠A=∠AEF
∠AFE=180°-2x。
∠AFE=∠AFD-∠DFE=30°+x，
∴180°-2x=30°+x，解得x=50°。
情况3：∠A=∠AFE
∠AFE=x，∠AFE=30°+x，x=30°+x，无解。
综上，∠A=40°或50°。
答案：B
8. 在直角三角形ABC中,$∠A:∠B:∠C= 2:m:4$,则m的值是____
2或6
.
答案：2或6
解析：
∵∠A:∠B:∠C=2:m:4，
∴设∠A=2k，∠B=mk，∠C=4k（k＞0）。
∵三角形ABC是直角三角形，
∴分三种情况：
情况1：∠A=90°，则2k=90°，k=45°，∠C=4k=180°，不符合三角形内角和定理，舍去；
情况2：∠B=90°，则mk=90°，2k+mk+4k=180°，即6k+90°=180°，k=15°，m=6；
情况3：∠C=90°，则4k=90°，k=22.5°，∠A=2k=45°，∠B=mk=180°-90°-45°=45°，mk=45°，m=2。
综上，m的值是2或6。
