答案：A

答案：【解析】：
题目考查了关于$x$轴和$y$轴对称的点的坐标性质。
对于点$P$关于$x$轴的对称点$P_1$，其横坐标与$P$相同，纵坐标是$P$的纵坐标的相反数。
对于点$P$关于$y$轴的对称点$P_2$，其纵坐标与$P$相同，横坐标是$P$的横坐标的相反数。
根据题意，设点$P$的坐标为$(x, y)$，则有：
$P_1$的坐标为$(x, -y) = (2a + b, -a + 1)$。
$P_2$的坐标为$(-x, y) = (4 - b, b + 2)$。
从$P_1$的坐标关系，可以得到两个方程：
$x = 2a + b$。
$-y = -a + 1$，即$y = a - 1$。
从$P_2$的坐标关系，可以得到两个方程：
$-x = 4 - b$，即$x = b - 4$。
$y = b + 2$。
将上述方程组合并，我们得到：
$2a + b = b - 4$，即$2a = -4$，解得$a = -2$。
$a - 1 = b + 2$，将$a = -2$代入，得$b = -5$。
再次使用$x = 2a + b$和$y = a - 1$（或$y = b + 2$，两者应该等价），我们得到：
$x = 2(-2) - 5 = -9$。
$y = -2 - 1 = -3$（或$y = -5 + 2 = -3$）。
所以，点$P$的坐标为$(-9, -3)$。
【答案】：
D. $(-9, -3)$。

答案：【解析】：本题考查坐标系中关于某直线对称的点的坐标特征，
在平面直角坐标系中，关于直线$y = k$（$k$为常数）对称的两点，纵坐标到直线$y = k$的距离相等，且这两点的连线与直线$y = k$垂直（即纵坐标关于$k$对称），横坐标不变。
已知点$P(-2,1)$与点$Q(a,b)$关于直线$y = -1$对称，
根据上述性质可知，点$P$与点$Q$的横坐标相同，即$a = -2$。
点$P$的纵坐标为$1$，它到直线$y = -1$的距离为$1 - (-1)= 2$，
那么点$Q$的纵坐标$b$到直线$y = -1$的距离也为$2$，且在直线$y = -1$的下方，
所以$b = -1 - 2 = -3$。
将$a = -2$，$b = -3$代入$a + b$可得：$a + b = -2 + (-3)= -5$。
【答案】：$-5$。

答案：【解析】：
本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移和关于$y$轴对称的性质。
首先，点$A(a, -3)$向左平移3个单位长度，根据平移规则，新点$A'$的坐标为$(a-3, -3)$。
然后，由于点$A$和点$A'$关于$y$轴对称，根据对称性质，有$a = -(a - 3)$。
解这个方程，我们得到$a = \frac{3}{2}$。
【答案】：
$\frac{3}{2}$。

答案：【解析】：本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标性质以及坐标系中线段的位置关系。
(1)观察点$A$和点$B$的坐标，可以发现它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数，这是关于$y$轴对称的点的坐标特征。
(2)观察点$A$和点$D$的坐标，可以发现它们的横坐标相同，因此线段$AD$垂直于$x$轴，即平行于$y$轴。
由于线段$AD$垂直于$x$轴，所以线段$AD$与$x$轴垂直。
因为点$P$是直线$AD$上任意一点，直线$AD$上所有点的横坐标都与点$A$和点$D$的横坐标相同，即$-2$。
(3)观察线段$AB$和线段$CD$，可以发现它们都与$x$轴垂直，因此线段$AB$与线段$CD$平行。
因为点$Q$是直线$AB$上任意一点，直线$AB$上所有点的纵坐标都与点$A$和点$B$的纵坐标相同，即$4$。
【答案】：(1)$y$
(2)平行；垂直；$-2$
(3)平行；$4$

答案：【解析】：
本题主要考查了关于$x$轴和$y$轴对称的点的坐标性质。
(1) 对于点$A(2a - b,5 + a)$和$B(2b - 1,-a + b)$关于$x$轴对称的情况：
根据关于$x$轴对称的点的坐标性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2b - 1, \\5 + a = -(-a + b).\end{cases}$解这个方程组，我们得到：
从第一个方程，我们可以得到：
$2a - 3b = -1 \quad \text{(方程1)}$
从第二个方程，我们可以得到：
$5 + a = a - b \Rightarrow b = -5 \quad \text{(方程2)}$
将方程2的解代入方程1，我们得到：
$2a + 15 = -1 \Rightarrow 2a = -16 \Rightarrow a = -8$
所以，$a = -8$，$b = -5$。
(2) 对于点$A(2a - b,5 + a)$和$B(2b - 1,-a + b)$关于$y$轴对称的情况：
根据关于$y$轴对称的点的坐标性质，纵坐标相等，横坐标互为相反数，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}2a - b = -(2b - 1), \\5 + a = -a + b.\end{cases}$解这个方程组，我们得到：
从第一个方程，我们可以得到：
$2a + b = 1 \quad \text{(方程3)}$
从第二个方程，我们可以得到：
$2a = b - 5 \quad \text{(方程4)}$
将方程4的解代入方程3，我们得到：
$b - 5 + b = 1 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$
将$b = 3$代入方程4，我们得到：
$2a = 3 - 5 \Rightarrow 2a = -2 \Rightarrow a = -1$
所以，$a = -1$，$b = 3$。
进一步，我们可以求出$(4a + b)^{2026}$的值：
$(4a + b)^{2026} = (4(-1) + 3)^{2026} = (-1)^{2026} = 1$
【答案】：
(1) $a = -8$，$b = -5$；
(2) $(4a + b)^{2026} = 1$。

答案：【解析】：
本题主要考查了平面直角坐标系中关于对称轴对称的点的坐标性质。
由于点$A(1,-2)$和点$A'(-3,-2)$是关于某条对称轴对称的点，可以通过这两点的中点来确定对称轴的方程。
中点公式为：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，
将$A$和$A'$的坐标代入公式，得到中点坐标为$(-1, -2)$。
由于$A$和$A'$的$y$坐标相同，所以对称轴是垂直于$x$轴的，且经过中点$(-1, -2)$，因此对称轴的方程是$x = -1$。
接下来，要找点$B(-\frac{5}{2},3)$关于对称轴$x = -1$的对称点。
设对称点的坐标为$(x, y)$，由于对称轴垂直于$x$轴，所以对称点的$y$坐标与点$B$的$y$坐标相同，即$y = 3$。
对于$x$坐标，由于对称轴是$x = -1$，点$B$的$x$坐标是$-\frac{5}{2}$，所以对称点的$x$坐标可以通过下式求出：
$\frac{-\frac{5}{2} + x}{2} = -1$，
解这个方程，得到$x = \frac{1}{2}$。
因此，点$B$的对称点的坐标是$(\frac{1}{2},3)$。
【答案】：
$(\frac{1}{2},3)$。