1. 阅读教材第 54 页《公理化方法》,解决下列问题：
在数学的发展历程中,公理化方法有着举足轻重的地位. 公理化方法是从尽可能少的基本概念和一组不加证明的原始命题(公理或公设)出发,应用严格的逻辑推理,推导出其余的命题,使某一数学分支成为演绎系统的一种方法. 古希腊数学家欧几里得运用公理化方法,从 5 个公理、5 个公设和一些基本定义出发,建立了“几何大厦”——欧氏几何.
在欧氏几何中,第五公设为：同一平面内一条直线和另外两条直线相交,如果在某一侧的两个内角的和小于 $180^{\circ}$,那么这两条直线无限延长后在这一侧相交. 后来,数学家们对第五公设进行了探索,诞生了非欧几何. 不同几何体系中三角形内角和有所不同：欧氏几何中,三角形的内角和等于 $180^{\circ}$；双曲几何中,三角形的内角和小于 $180^{\circ}$；球面几何中,三角形的内角和大于 $180^{\circ}$.
(1)在欧氏几何中,我们学习过三角形内角和定理的证明,其证明过程是基于一些公理、定理以及已有的定义,通过逻辑推理得出的. 请写出欧氏几何中证明三角形内角和为 $180^{\circ}$ 的一种方法. (要求简单说明思路)
(2)小明说：“既然不同几何体系中三角形内角和不一样,那欧氏几何中的三角形内角和定理就不正确了.”你同意小明的观点吗？请结合材料说明理由.
(3)公理化方法对数学发展有着重要意义. 请你结合材料,简要阐述公理化方法的作用.
答案：1.解:
(1)证明思路:过三角形的一个顶点作其对边的平行线.例如,如答图，过△ABC的顶点A作直线EF//BC,根据两直线平行,内错角相等，可得∠B=∠EAB,∠C=∠FAC,又因为∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的定义),所以∠B+∠BAC+∠C=180°,即三角形内角和为180°.
(2)不同意.理由:欧氏几何是在其特定的公理、公设和基本定义的基础上，通过严格逻辑推理建立起来的演绎系统.在欧氏几何的体系中，三角形内角和等于180°是经过严谨证明的定理，是正确的.不同的几何体系有着不同的公理、公设等基础，所以三角形内角和情况不同，但不能因此说欧氏几何中的三角形内角和定理不正确.
(3)公理化方法的作用有:可以将知识整理在一个严密的系统中，使数学分支成为演绎系统;能够从基本概念和原始命题出发，推导出众多的结论，形成公理体系;推动了数学的发展，如欧几里得的《原本》是历史上第一个数学公理化体系，为数学发展奠定基础，后续数学家基于对公理化方法的探索又诞生了非欧几何等新的几何体系，促进了数学的不断进步.
