1. 如图,点 E 在四边形 ABCD 的边 AD 上,$∠BAE = ∠BCE = ∠ACD = 90^{\circ}$,且$BC = CE$,求证：$AD = AE + AB$。
答案：证明:
∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,
∴∠BAC+∠DAC=90°,∠CDA+∠DAC=90°,
∴∠BAC=∠EDC,同理,∠BCA=∠ECD.
在△ABC和△DEC中,∠BAC=∠EDC,
∠BCA=∠ECD,
BC=EC,
∴△ABC≌△DEC,
∴AB=DE.
∵AD=AE+ED,
∴AD=AE+AB.
2. 如图,在四边形 ABCD 中,$AD// BC$,$DE = EC$,连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F,连接 BE。
(1) 求证：$AE = EF$；
(2) 若$BE⊥AF$,求证：$BC = AB - AD$。
答案：
(1)
∵AD//BC,
∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE.
又
∵DE=CE,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴AE=EF.
(2)由AE=EF,BE⊥AF,易证得AB=BF.
∵△ADE≌△FCE,
∴AD=CF,
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD,
∴BC=AB - AD.
3. (2024·郓城县模拟)如图,$∠BAD = ∠CAE = 90^{\circ}$,$AB = AD$,$AE = AC$,$AF⊥CB$,垂足为 F。
(1) 求证：$△ABC\cong △ADE$；
(2) 求证：$CD = 2BF + DE$。
答案：(1)
∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE.
在△BAC和△DAE中,AB=AD,
∠BAC=∠DAE,
AC=AE,
∴△BAC≌△DAE(SAS).
(2)如答图,延长BF到点G,使得FG=FB.
∵AF⊥BG,
∴∠AFG=∠AFB=90°,
在△AFB和△AFG中,BF=GF,
∠AFB=∠AFG,
AF=AF,
∴△AFB≌△AFG(SAS),
∴AB=AG,∠ABF=∠G.
∵△BAC≌△DAE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
∴∠G=∠CDA,
由题意可知∠GCA=∠E=∠DCA=45°.
在△CGA和△CDA中,∠GCA=∠DCA,
∠CGA=∠CDA,
AG=AD,
∴△CGA≌△CDA(AAS),
∴CG=CD,
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE.
4. 如图,已知$AP// BC$,$∠PAB的平分线与∠CBA$的平分线相交于点 E,连接 CE 并延长,交 AP 于点 D。求证：$AD + BC = AB$。
答案：证明:在AB上截取AF=AD,连接EF.
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE.
在△DAE和△FAE中,AD=AF,
∠DAE=∠FAE,
AE=AE,
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE=∠ADE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC.
在△BEF和△BEC中,∠EFB=∠C,
∠EBF=∠EBC,
BE=BE,
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BF=BC,
∴AD+BC=AF+BF=AB.
