1.(2024春·江阴期末)下列长度的三条线段能组成三角形的是 (
C
)
A.2,4,7
B.3,5,8
C.5,12,13
D.1,7,9
答案：C
解析：
A. $2 + 4 = 6 ＜ 7$，不能组成三角形；
B. $3 + 5 = 8$，不能组成三角形；
C. $5 + 12 = 17 ＞ 13$，$5 + 13 = 18 ＞ 12$，$12 + 13 = 25 ＞ 5$，能组成三角形；
D. $1 + 7 = 8 ＜ 9$，不能组成三角形；
C
2.(2024秋·南充期末)如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做所蕴含的数学原理是(
A
)
A.三角形的稳定性
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两点之间线段最短
答案：A
3.(2024秋·临澧县期末)已知在△ABC中,AB= 2,BC= 6,则边AC的长可能是 (
C
)
A.3
B.4
C.5
D.8
答案：C
解析：
在△ABC中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
已知AB=2，BC=6，所以BC-AB＜AC＜BC+AB，即6-2＜AC＜6+2，4＜AC＜8。
选项中符合条件的是5。
C
4.用两根长度分别为3 cm和5 cm的细木条做一个三角形框架,需要将其中一根木条分为两段,如果不考虑损耗和接头部分,那么可以分成两段的是 (
B
)
A.3 cm长的木条
B.5 cm长的木条
C.两根都可以
D.两根都不行
答案：B
解析：
若分3cm长的木条，设分成的两段为$x\,\text{cm}$和$(3 - x)\,\text{cm}$，则三角形三边长为$x$，$3 - x$，$5$。根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，可得$x + (3 - x) ＞ 5$，即$3 ＞ 5$，不成立。
若分5cm长的木条，设分成的两段为$y\,\text{cm}$和$(5 - y)\,\text{cm}$，则三角形三边长为$y$，$5 - y$，$3$。根据三角形三边关系：
$y + (5 - y) ＞ 3$，即$5 ＞ 3$，成立；
$y + 3 ＞ 5 - y$，得$2y ＞ 2$，$y ＞ 1$；
$5 - y + 3 ＞ y$，得$8 ＞ 2y$，$y ＜ 4$。
当$1 ＜ y ＜ 4$时，满足条件，如$y = 2$，则三边长为$2\,\text{cm}$，$3\,\text{cm}$，$3\,\text{cm}$，可构成三角形。
B
5.(2014·包头)长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有 (
C
)
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案：C
解析：
选其中三根组成三角形，可能的选法及判断：
1. 9,6,5：5+6=11＞9，6+9=15＞5，5+9=14＞6，能组成三角形；
2. 9,6,4：4+6=10＞9，6+9=15＞4，4+9=13＞6，能组成三角形；
3. 9,5,4：4+5=9，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形；
4. 6,5,4：4+5=9＞6，5+6=11＞4，4+6=10＞5，能组成三角形。
综上，能组成三角形的选法有3种。
C
6.(2024春·宁德期末)如图,①②是两根细直木棒,现需要将其中一根截成两段,首尾相接搭成一个三角形框架,则下列说法正确的是 (
D
)
A.截①②都可以
B.截①②都不可以
C.只有截①可以
D.只有截②可以
答案：D
7.小李家有一个六边形置物架已经变形(如图),需通过增加木条使其固定,工人师傅至少需要加固木条的数量为 (
B
)
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：B
解析：
要使六边形固定，需将其分割成三角形。根据多边形内角和公式，从一个顶点出发，连接其他不相邻顶点，可将$n$边形分成$(n - 2)$个三角形，此时需要$(n - 3)$条线段。六边形中$n=6$，则至少需要加固木条数量为$6 - 3=3$。
B
8.已知a,b,c是三角形的三边长,那么代数式$a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}$的值 (
C
)
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不能确定
答案：C
解析：
$a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}=(a-b)^{2}-c^{2}=(a-b+c)(a-b-c)$，
因为$a,b,c$是三角形的三边长，
所以$a+c ＞ b$，$b+c ＞ a$，
即$a-b+c ＞ 0$，$a-b-c ＜ 0$，
所以$(a-b+c)(a-b-c) ＜ 0$，
C
9.如图,在△ABC中,AB= 10 cm,AC= 6 cm,D是BC的中点,E点在边AB上,△BDE与四边形ACDE的周长相等.
(1)求线段AE的长;
(2)若图中所有线段长度的和是53 cm,求$BC+\frac{1}{2}DE$的值.
答案：9.解:
(1)
∵△BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE.
∵BD=DC,
∴BE=AE+AC.
设AE=x cm,则BE=(10-x)cm,
由题意得,10-x=x+6,
解得x=2,
∴AE=2 cm.
(2)题图中共有8条线段，
它们的和为AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC
=2AB+AC+2BC+DE=53(cm).
∴2BC+DE=53-(2AB+AC)=53-(2×10+6)=27(cm),
∴BC+$\frac{1}{2}$DE=$\frac{27}{2}$(cm).
