1. (2024 春·湖州期末)如图, 在$\triangle ABC$中,$∠A:∠ABC:∠ACB= 3:4:5$, BD,CE 分别是边 AC,AB 上的高, 且 BD,CE 相交于点 H, 求$∠BHC$的度数.
答案：解:在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:4:5,
故设∠A=3x,∠ABC=4x,∠ACB=5x.
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴3x+4x+5x=180°,
解得x=15°,
∴∠A=3x=45°.
∵BD,CE分别是边AC,AB上的高，
∴∠ADB=90°,∠BEC=90°,
∴在△ABD中,∠ABD=180°−∠ADB−∠A=180°−90°−45°=45°,
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°.
2. 如图,$∠B= ∠C$, 点 D 在 BC 边上,$∠BAD= 30^{\circ }$, 在 AC 边上取一点 E 使$AE= AD$, 求$∠EDC$的度数.
答案：解:设∠EDC=x.
由三角形的外角性质得，∠ADE + x = ∠B + ∠BAD，∠AED = ∠C + x;
∵AE = AD,
∴∠ADE = ∠AED,
∴∠C + x + x = ∠B + ∠BAD.
∵∠B = ∠C,
∴x = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×30° = 15°,即∠EDC = 15°.
3. (1)如图①是一个五角星, 你会求$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E$的值吗?
(2)当图①中的点 A 向下移到 BE 上时(如图②), 五个角的和(即$∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E$)有无变化? 说明你的结论的正确性.
(3)把图②中的点 C 向上移动到 BD 上时(如图③), 五个角的和(即$∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E$)有无变化? 说明你的结论的正确性.
答案：解:
(1)如答图，连接CD,
在△ACD中,根据三角形内角和定理,得出∠A + ∠2 + ∠3 + ∠ACE + ∠ADB = 180°.
∵∠1 = ∠B + ∠E = ∠2 + ∠3,
∴∠A + ∠B + ∠ACE + ∠ADB + ∠E
= ∠A + ∠B + ∠E + ∠ACE + ∠ADB
= ∠A + ∠2 + ∠3 + ∠ACE + ∠ADB = 180°.
(2)无变化.理由:
根据平角的定义,得出∠BAC + ∠CAD + ∠DAE = 180°.
∵∠BAC = ∠C + ∠E,∠EAD = ∠B + ∠D,
∴∠CAD + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = ∠BAC + ∠CAD + ∠EAD = 180°.
(3)无变化.理由:
∵∠ACB = ∠CAD + ∠D,∠ECD = ∠B + ∠E,
∴∠CAD + ∠B + ∠ACE + ∠D + ∠E = ∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°.
4. 如图, 在$\triangle ABC$中, 点 D,E 分别在边 AB,AC 上, 如果$∠A= 60^{\circ }$, 那么$∠1+∠2$的大小为
240°
.
答案：240°
解析：
在$\triangle ADE$中，$\angle A=60^{\circ}$，所以$\angle ADE+\angle AED=180^{\circ}-\angle A=120^{\circ}$。
因为$\angle 1+\angle ADE=180^{\circ}$，$\angle 2+\angle AED=180^{\circ}$，所以$\angle 1+\angle 2=360^{\circ}-(\angle ADE+\angle AED)=360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$。
240°
