1. 运用乘法公式计算$(x+2y-1)(x-2y+1)$时,下列变形正确的是 (
B
)
A.$[x-(2y+1)]^{2}$
B.$[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$
C.$[(x-2y)+1][(x-2y)-1]$
D.$[x+(2y+1)]^{2}$
答案：B
解析：
$(x+2y-1)(x-2y+1)$
$=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]$
结论：B
2. 计算$(x+y+3)(x-y-3)= $
$x^{2}-y^{2}-6y-9$
.
答案：$x^{2}-y^{2}-6y-9$
解析：
$(x+y+3)(x-y-3)$
$=[x+(y+3)][x-(y+3)]$
$=x^{2}-(y+3)^{2}$
$=x^{2}-(y^{2}+6y+9)$
$=x^{2}-y^{2}-6y-9$
3. 计算:
(1)$(3x-1)^{2}-(2x+5)^{2};$
(2)$(m+n)^{2}(m-n)^{2};$
(3)$(a+b)(a-b)(a^{2}-b^{2});$
(4)$2(a+3)^{2}-4(a+3)(a-3)+3(a-2)^{2};$
(5)$(2a+1)^{2}-(1-2a)^{2};$
(6)$(a+1)^{2}(a-1)^{2}(a^{2}+1)^{2}.$
答案：
(1)原式$=9x^{2}-6x+1-(4x^{2}+20x+25)$
$=9x^{2}-6x+1-4x^{2}-20x-25$
$=5x^{2}-26x-24.$
(2)原式$=[(m+n)(m-n)]^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}$
$=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}.$
(3)原式$=(a^{2}-b^{2})(a^{2}-b^{2})=a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}.$
(4)原式$=2(a^{2}+6a+9)-4(a^{2}-9)+3(a^{2}-4a+4)$
$=2a^{2}+12a+18-4a^{2}+36+3a^{2}-12a+12$
$=a^{2}+66.$
(5)原式$=[(2a+1)+(1-2a)][(2a+1)-(1-2a)]$
$=2×4a=8a.$
(6)原式$=[(a+1)(a-1)(a^{2}+1)]^{2}$
$=[(a^{2}-1)(a^{2}+1)]^{2}$
$=(a^{4}-1)^{2}=a^{8}-2a^{4}+1.$
4. 若代数式$x^{2}-4x+a$可化为$(x-b)^{2}-1$,则$a+b$是 (
A
)
A.5
B.4
C.3
D.2
答案：A
解析：
$(x - b)^2 - 1 = x^2 - 2bx + b^2 - 1$，
因为$x^2 - 4x + a = x^2 - 2bx + b^2 - 1$，
所以$-2b = -4$，$a = b^2 - 1$，
解得$b = 2$，$a = 2^2 - 1 = 3$，
则$a + b = 3 + 2 = 5$。
A
5. 在多项式$4x^{2}+1$中添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方式,则添加的单项式不可以是 (
B
)
A.4x
B.2x
C.-4x
D.$4x^{4}$
答案：B
解析：
要使多项式$4x^{2}+1$成为一个整式的完全平方式，分以下情况讨论：
情况1：添加单项式后为$(ax + b)^2$形式
$(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$
对比$4x^{2}+1$，已有$a^2x^2 = 4x^2$（即$a = \pm2$）和$b^2 = 1$（即$b = \pm1$），中间项为$2abx$。
当$a = 2$，$b = 1$时，中间项为$2×2×1x = 4x$，添加$4x$得$(2x + 1)^2$；
当$a = 2$，$b = -1$时，中间项为$2×2×(-1)x = -4x$，添加$-4x$得$(2x - 1)^2$。
情况2：添加单项式后为$(ax^2 + b)^2$形式
$(ax^2 + b)^2 = a^2x^4 + 2abx^2 + b^2$
对比$4x^{2}+1$，已有$2abx^2 = 4x^2$和$b^2 = 1$（即$b = \pm1$）。取$b = 1$，则$2a×1 = 4$，解得$a = 2$，此时$a^2x^4 = 4x^4$，添加$4x^4$得$(2x^2 + 1)^2$。
情况3：添加单项式$2x$
若添加$2x$，多项式为$4x^2 + 2x + 1$。判别式$\Delta = 2^2 - 4×4×1 = 4 - 16 = -12 ＜ 0$，无法因式分解为完全平方式。
综上，添加$2x$不能使原式成为完全平方式。
答案：B
6. 如图,两个正方形的边长分别为a,b,已知$a+b= 7,ab= 9$,则阴影部分的面积为 (
B
)
A.10
B.11
C.12
D.13
答案：B
解析：
阴影部分面积为两个正方形面积之和减去两个空白三角形面积。
两个正方形面积和：$a^2 + b^2$。
左下角空白三角形面积：$\frac{1}{2}a(a + b)$。
右上角空白三角形面积：$\frac{1}{2}b^2$。
阴影面积$S = a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a(a + b) - \frac{1}{2}b^2$
化简得：$S = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$
因为$a + b = 7$，$ab = 9$，所以$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2×9 = 49 - 18 = 31$
则$S = \frac{1}{2}(31 - 9) = \frac{1}{2}×22 = 11$
B
