1. (2024·泰安)如图,直线 $ l // m $,等边三角形 $ ABC $ 的两个顶点 $ B,C $ 分别落在直线 $ l,m $ 上,若 $ \angle ABE = 21^{\circ} $,则 $ \angle ACD $ 的度数是 ()

A. $ 45^{\circ} $
B. $ 39^{\circ} $
C. $ 29^{\circ} $
D. $ 21^{\circ} $

2. (2024·沭阳一模)如图,在等边 $ \triangle ABC $ 中, $ BD $ 是 $ AC $ 边上的中线,延长 $ BC $ 至点 $ E $,使 $ CE = CD $. 若 $ DE = 4 $,则 $ BD = $ ()

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

3. (2023 秋·南通月考)如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle B = \angle C = 30^{\circ} $, $ AD \perp AB $ 交 $ BC $ 于点 $ D $, $ BC = 30 $,则 $ BD = $______.

4. (2023 秋·浦口区月考)如图,等边三角形 $ ABC $ 中, $ P $ 为 $ BC $ 上一点,且 $ \angle 1 = \angle 2 $,则 $ \angle 3 $ 的大小为______$ ^{\circ} $.

5. (2023 秋·建邺区月考)如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ \angle BAC = 120^{\circ} $, $ AB,AC $ 边的垂直平分线分别交 $ BC $ 于点 $ E,D $,连接 $ AE,AD $. 求证: $ \triangle AED $ 是等边三角形.
证明：$\because AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle B = \angle C = \frac{1}{2} × (180^{\circ} - 120^{\circ}) = $。
$\because AB$，$AC$边的垂直平分线分别交$BC$于点$E$，$D$，
$\therefore $，，
$\therefore \angle BAE = \angle B = $，$\angle CAD = \angle C = $，$\therefore \angle AED = \angle B + \angle BAE = $，$\angle ADE = \angle C + \angle CAD = $，
$\therefore \angle DAE = 180^{\circ} - \angle AED - \angle ADE = $，
$\therefore \triangle ADE$是等边三角形。

6. 如图是两块完全一样的含 $ 30^{\circ} $ 角的三角尺,分别记作 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A_1B_1C_1 $,现将两块三角尺重叠在一起,若较长直角边的中点为 $ M $,绕中点 $ M $ 转动上面的三角尺 $ ABC $,直角顶点 $ C $ 恰好落在三角尺 $ A_1B_1C_1 $ 的斜边 $ A_1B_1 $ 上. 当 $ \angle A = 30^{\circ} $, $ B_1C = 2 $ 时, $ AB $ 的长为 ()

A. 6
B. 8
C. 9
D. 10

7. 如图,在等边 $ \triangle ABC $ 中, $ AC = 9 $,点 $ O $ 在 $ AC $ 上,且 $ AO = 3 $, $ P $ 是 $ AB $ 上一动点,连接 $ OP $,将线段 $ OP $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到线段 $ OD $,若使点 $ D $ 恰好落在 $ BC $ 上,则线段 $ AP $ 的长是______.