9.新考向数学文化「2025北京海淀期中,★☆」中国古代数学有着辉煌的成就,《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献.某中学初二1班、2班、3班拟从这4部文献中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容,则3个班恰好选择不同的三本文献的概率为( )
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{8}$
答案：B 将《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》分别记作A,B,C,D，画树状图如下:
由树状图可知，共有64种等可能的结果，其中3个班恰好选择不同的三本文献的结果有24种，∴3个班恰好选择不同的三本文献的概率 = $\frac{24}{64}$ = $\frac{3}{8}$，故选B.
10.跨物理电路「2024四川绵阳中考,★☆」如图,电路上有$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$四个断开的开关和一个正常的小灯泡L,将这些开关随机闭合至少两个,能让灯泡发光的概率为( )
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{7}{11}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{9}{11}$
答案：D 画树状图如下:
将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有$(S_{3},S_{4}),(S_{2},S_{4}),(S_{2},S_{3}),(S_{2},S_{3},S_{4}),(S_{1},S_{4}),(S_{1},S_{3}),(S_{1},S_{3},S_{4}),(S_{1},S_{2}),(S_{1},S_{2},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3}),(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4})$，共11种，其中能让灯泡发光的结果有$(S_{1},S_{3}),(S_{1},S_{4}),(S_{2},S_{3}),(S_{2},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3}),(S_{1},S_{2},S_{4}),(S_{1},S_{3},S_{4}),(S_{2},S_{3},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4})$，共9种，∴将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为$\frac{9}{11}$，故选D.
11.「2024重庆渝中模拟,★☆」有1、2、-2三个数,小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求了倒数；小颖分别对这三个数求了-2次幂.将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选一个相乘,则乘积恰好为整数的概率为____.
答案：答案 $\frac{7}{27}$
解析 1、2、 - 2的绝对值分别为1、2、2，倒数分别为$1、\frac{1}{2}、-\frac{1}{2}$， - 2次幂分别为$1、\frac{1}{4}、\frac{1}{4}$，画树状图如下:
共有27种等可能的结果，其中乘积恰好为整数的结果数为7，所以乘积恰好为整数的概率为$\frac{7}{27}$.
12.新课标几何直观如图,在三条横线和三条竖线组成的图形中,任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形,从这些矩形中任选一个,则所选矩形含点A的概率是(
D
)
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{4}{9}$
答案：D 将题图中从左到右的三条竖线分别记作a,b,c，从上到下的三条横线分别记作m,n,l，列表如下:
ab bc ac
mn ab,mn bc,mn ac,mn
nl ab,nl bc,nl ac,nl
ml ab,ml bc,ml ac,ml
由表可知，共有9种等可能的结果，其中所选矩形含点A的结果有bc、mn；bc、ml；ac、mn；ac、ml这4种，∴所选矩形含点A的概率为$\frac{4}{9}$，故选D.
13.新课标推理能力「2024江苏泰州海陵三模」近年来,我国“新三样”出口非常亮眼,小明在不知道“新三样”是什么的情况下,在“服装、电动载人汽车、锂电池、太阳能电池”这四样中(含有“新三样”),一次猜三样,恰好是“新三样”的概率为____.
答案：答案 $\frac{1}{4}$
解析 把服装、电动载人汽车、锂电池、太阳能电池分别记为A,B,C,D，画树状图如下:
共有24种等可能的结果，其中恰好是“新三样”的结果有6种，∴恰好是“新三样”的概率为$\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$.
例题 跨历史地域文化「2025北京通州期中」长江是中华民族的母亲河,长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习,则选中“巴蜀文化”的概率是
$\frac{1}{4}$
.
答案：答案 $\frac{1}{4}$
解析 ∵共有四种区域文化，∴随机选一种文化开展专题学习，选中“巴蜀文化”的概率是$\frac{1}{4}$.
变式1【变为放回事件】有四张背面完全相同的卡片,正面分别写着藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化,将其背面朝上并洗匀,从中随机抽取一张,记录后放回,洗匀后再从中随机抽取一张,则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为
$\frac{1}{4}$
.
答案：答案 $\frac{1}{4}$
解析 把藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化分别记作A,B,C,D，列表如下:
A B C D
A(A,A) (A,B) (A,C) (A,D)
B(B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
C(C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
D(D,A) (D,B) (D,C) (D,D)
共有16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有4种，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为$\frac{4}{16}$ = $\frac{1}{4}$.
变式2【变为不放回事件】有四张背面完全相同的卡片,正面分别写着藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化,将其背面朝上并洗匀,从中随机抽取两张,则抽取的两张卡片上的汉字分别为“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率为
$\frac{1}{6}$
.
答案：答案 $\frac{1}{6}$
解析 把藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化分别记作A,B,C,D，列表如下:
A B C D
A - (A,B) (A,C) (A,D)
B(B,A) - (B,C) (B,D)
C(C,A) (C,B) - (C,D)
D(D,A) (D,B) (D,C) -
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字分别为“巴蜀文化”和“荆楚文化”的结果有2种，则抽取的两张卡片上的汉字分别为“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率为$\frac{2}{12}$ = $\frac{1}{6}$.
变式3【变为三步事件】在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片,卡片正面分别标有数字1,2,3,4,小明、小红、小亮三人分别从中抽取一张卡片,小明抽取的卡片上的数字作百位,小红抽取的卡片上的数字作十位,小亮抽取的卡片上的数字作个位,则抽取的卡片上的数字组成的三位数为偶数的概率是____.
答案：答案 $\frac{1}{2}$
解析 画树状图如下:
由树状图知，共有24种等可能的结果，其中抽取的卡片上的数字组成的三位数为偶数的结果有12种，
∴P(抽取的卡片上的数字组成的三位数为偶数) = $\frac{12}{24}$ = $\frac{1}{2}$.
