1.「2024安徽合肥蜀山期中」某公司销售一种成本为20元/盏的LED护眼台灯.销售过程中发现,若销售单价为x元,则月销售量为$(-10x+500)$盏.为使每月获得的利润最大,该台灯应定价为(
B
)
A.30元/盏
B.35元/盏
C.40元/盏
D.45元/盏
答案：B 设每月获得的利润为y元，根据题意，得$y=(x-20)(-10x+500)=-10x^{2}+700x-10000=-10(x-35)^{2}+2250$，$\because -10＜0$，$\therefore$当$x=35$时，y取得最大值，为2250，$\therefore$为使每月获得最大利润，该台灯应定价为35元/盏.故选B.
2.某商店经销一种健身球,已知这种健身球的成本价为每个20元,市场调查发现,该种健身球每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:$y= -2x+80(20≤x≤40)$,设这种健身球每天的销售利润为w元.
(1)如果销售单价定为25元,那么这种健身球每天的销售量是
30
个.
(2)求w与x之间的函数关系式.
$w=-2x^{2}+120x-1600$
(3)该种健身球的销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
该种健身球的销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元
答案：解析 (1)当$x=25$时，$y=-2×25+80=30$.
(2)根据题意，得$w=(x-20)(-2x+80)=-2x^{2}+120x-1600$，
$\therefore$w与x之间的函数关系式为$w=-2x^{2}+120x-1600$.
(3)$w=-2x^{2}+120x-1600=-2(x-30)^{2}+200$，
$\because -2＜0$，$\therefore$当$x=30$时，w取最大值，最大值为200.
答：该种健身球的销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元.
3.「2024浙江温州鹿城期中」某宾馆有150间客房,当客房价格为100元/间时,每天都客满.市场调查发现单间房价在100~200元(含100元,200元)浮动时,每提高10元,日均入住数减少6间.如果不考虑其他因素,为使客房的日营业收入最大,宾馆可将每间客房价格提高(
B
)
A.100元
B.75元
C.50元
D.25元
答案：B 设宾馆客房每间日租金提高10x元，则有6x间客房空出，设该宾馆的客房租金总收入为y元，由题意可得$y=(100+10x)(150-6x)=-60(x-7.5)^{2}+18375(0≤10x≤100)$，$\because -60＜0$，$\therefore$当$x=7.5$时，函数取得最大值，此时$10x=10×7.5=75$，即宾馆可将每间客房价格提高75元.故选B.
4.「2025山东威海文登期中」某款旅游纪念品很受游客喜爱,每个纪念品进价40元,规定销售单价不低于44元,且不高于52元.某商户在销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300个,销售单价每上涨2元,每天销量减少20个.将纪念品的销售单价定为
52
元时,商家每天销售纪念品获得的利润最大.
答案：答案 52
解析 设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，销售单价为x元，则$w=(x-40)(300-20×\frac{x-44}{2})=(x-40)(-10x+740)=-10x^{2}+1140x-29600$，$\therefore$函数图象对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=57$.$\because -10＜0$，$44≤x≤52$，$\therefore$当$x=52$时，w有最大值.$\therefore$应将纪念品的销售单价定为52元.
5.「2024四川内江中考」端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元,某商家用5000元购进的肉粽盒数与用3000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现肉粽每盒售价为52元时,可售出180盒,每盒售价每提高1元,便少售出10盒.
(1)求肉粽、豆沙粽每盒的进价.
(2)设肉粽每盒售价为x元$(52≤x≤70)$,y表示该商家销售肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数表达式并求出y的最大值.
答案：解析 (1)设肉粽每盒进价为a元，则豆沙粽每盒进价为$(a-20)$元，由题意得$\frac{5000}{a}=\frac{3000}{a-20}$，解得$a=50$，
经检验，$a=50$是原分式方程的解，且符合实际意义，
此时$a-20=30$，
$\therefore$肉粽每盒进价为50元，豆沙粽每盒进价为30元.
(2)由题意得，当$x=52$时，每天可售出180盒，
当肉粽每盒售价为x元$(52≤x≤70)$时，每天可售出$[180-10(x-52)]$盒，
$\therefore y=(x-50)[180-10(x-52)]=(x-50)(-10x+700)=-10x^{2}+1200x-35000=-10(x-60)^{2}+1000$，
$\because -10＜0$，$52≤x≤70$，
$\therefore$当$x=60$时，y取最大值，为1000，
答：y关于x的函数表达式为$y=-10x^{2}+1200x-35000(52≤x≤70)$，且y的最大值为1000.
