1.「2025山东枣庄滕州月考」有一个人患流感,经过两轮传染后共有64个人患流感.设每轮传染中平均一个人传染x个人,则第三轮传染后共有______个人患流感.(
D
)
A.7
B.8
C.448
D.512
答案：D ∵ 每轮传染中平均一个人传染 $ x $ 个人，∴ 第一轮传染中有 $ x $ 个人被传染，第二轮传染中有 $ x(1 + x) $ 个人被传染，根据题意，得 $ 1 + x + x(1 + x) = 64 $，解得 $ x_1 = 7 $，$ x_2 = -9 $（不符合题意，舍去），∴ 每轮传染中平均一个人传染 7 个人，∴ 经过三轮传染后患流感的人数为 $ 64 + 64×7 = 512 $。故选 D。
2.「2024江苏盐城建湖期中」某校“研学”活动小组在一次综合实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是57,则这种植物每个支干长出的小分支个数是______
7
。
答案：答案 7
解析 设这种植物每个支干长出 $ x $ 个小分支，根据题意，得 $ 1 + x + x^2 = 57 $，整理得 $ x^2 + x - 56 = 0 $，解得 $ x_1 = -8 $（不合题意，舍去），$ x_2 = 7 $，∴ 这种植物每个支干长出的小分支个数是 7。
3.跨化学制取氧气 化学课代表在老师的教导下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作,回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学,第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学,这样全班49人恰好都会做这个实验了,那么课代表第一节课手把手教会了______名同学.
答案：答案 6
解析 设课代表第一节课手把手教会了 $ x $ 名同学，由题意，得 $ 1 + x + (x + 1)x = 49 $，解得 $ x_1 = 6 $，$ x_2 = -8 $（不合题意，舍去），∴ 课代表第一节课手把手教会了 6 名同学。
4.「2025河南漯河源汇月考」一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,经统计所有人一共握了66次手,则这次会议到会的人数是(
12
)
A.11
B.12
C.22
D.33
答案：B 设参加会议的有 $ x $ 人，根据题意，得 $ \frac{1}{2}x(x - 1) = 66 $，整理，得 $ x^2 - x - 132 = 0 $，解得 $ x_1 = 12 $，$ x_2 = -11 $（舍去），则参加这次会议的有 12 人。故选 B。
5.「2025福建福州晋安月考」某校组织一次篮球赛,各班均组队参赛,赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场),共需安排15场比赛,则班级的个数为(
C
)
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：C 设有 $ x $ 个班级参加比赛，由题意得 $ \frac{1}{2}x(x - 1) = 15 $，整理得 $ x^2 - x - 30 = 0 $，解得 $ x_1 = 6 $，$ x_2 = -5 $（舍），所以班级的个数为 6。故选 C。
6.「2024湖北黄冈蕲春期中」张小武同学建立了一个名为“正能量”的微信群.这个微信群里有若干个好友,每个好友都分别给群里其他好友发送了一条充满正能量的消息,共有870条消息,则这个微信群里共有
30
个好友.
答案：答案 30
解析 设这个微信群里共有 $ x $ 个好友，根据题意，得 $ x(x - 1) = 870 $，整理，得 $ x^2 - x - 870 = 0 $，即 $ (x - 30)(x + 29) = 0 $，解得 $ x_1 = 30 $，$ x_2 = -29 $（舍去），即这个微信群里共有 30 个好友。
7.「2025河南郑州中牟月考,★☆」在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且握手1次.
(1)若参加聚会的人数为3,则共握手
3
次；若参加聚会的人数为5,则共握手
10
次；若参加聚会的人数为n(n≥2,且n为正整数),则共握手
$\frac{1}{2}n(n - 1)$
次.
(2)若参加聚会的人共握手28次,请求出参加聚会的人数.
(3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点(不含端点A,B),则线段总数为多少呢？请直接写出结论.
$\frac{1}{2}(m + 2)(m + 1)$
答案：解析 (1) $ 3 $；$ 10 $；$ \frac{1}{2}n(n - 1) $。
(2) 设参加聚会的人数为 $ x $。
由题意得 $ \frac{1}{2}x(x - 1) = 28 $，整理得 $ x^2 - x - 56 = 0 $，
解得 $ x_1 = 8 $，$ x_2 = -7 $（不合题意，舍去）。
答：参加聚会的人数为 8。
(3) ∵ 线段 $ AB $ 上共有 $ m $ 个点（不含端点 $ A $，$ B $），
∴ 可看成共有 $ (m + 2) $ 个人握手，
∴ 线段总数为 $ \frac{1}{2}(m + 2)(m + 1) $。
