第9页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

 证明：

 ∵$∠1 = ∠2，$

 ∴$∠ADC = ∠ADB。$

 在$△ABD$和$△ACD$中，

 $\left\{\begin{array}{l} BD = CD, \\ ∠BDA = ∠CDA, \\ AD = AD, \end{array}\right.$

 ∴$△ABD≌△ACD(SAS)。$

 ∴$∠CAD = ∠BAD，$

 ∴$AD$是$∠BAC$的平分线。

 证明：

 ∵∠BAE = ∠DAC，

 ∴∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，即∠BAC = ∠DAE。

 在△BAC和△DAE中，

 $\left\{\begin{array}{l} AB = AD, \\ ∠BAC = ∠DAE, \\ AC = AE, \end{array}\right.$

 ∴△BAC≌△DAE（SAS）。

 ∴∠E = ∠C。

 （1）证明：因为$AE = CF，$所以$AE + EF=CF + EF$（等式的性质），即$AF = CE。$又因为$BF// DE，$所以$\angle AFB=\angle CED$（两直线平行，内错角相等）。在$\triangle ABF$和$\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l}BF = DE\\\angle AFB=\angle CED\\AF = CE\end{array}\right.，$根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABF\cong\triangle CDE。$所以$\angle B=\angle D$（全等三角形的对应角相等）。

 （2）解：由（1）知$\triangle ABF\cong\triangle CDE，$所以$AB = CD$（全等三角形的对应边相等），$\angle A=\angle C$（全等三角形的对应角相等）。因为$\angle A=\angle C，$所以$AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。综上，$AB$与$CD$的关系是$AB = CD$且$AB// CD。$

 在池塘外取一点E，连接AE，BE（AE，BE都在地面上），延长AE，BE分别到点C，D，使CE=AE，DE=BE，连接CD，度量CD的宽度，即可得到AB的长度。理由：在△ABE和△CDE中，因为AE=CE，∠AEB=∠CED（对顶角相等），BE=DE，所以△ABE≌△CDE（SAS），因此AB=CD。