例 1 在算式$\dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{□} + \dfrac{1}{△} + \dfrac{1}{◯} = 1$中，$□$、$△$和$◯$表示三个不同的自然数，这三个自然数的和是多少？
答案：思路分析
首先根据条件可以知道$\dfrac{1}{□} + \dfrac{1}{△} + \dfrac{1}{◯} = \dfrac{17}{18}$。接下来在$18$的因数中找出三个不同的因数，使得它们的和是$17$。解答：$\dfrac{1}{□} + \dfrac{1}{△} + \dfrac{1}{◯} = 1 - \dfrac{1}{18} = \dfrac{17}{18}$
$18$的因数有$1$，$2$，$3$，$6$，$9$，$18$。
$2 + 6 + 9 = 17$
$\dfrac{17}{18} = \dfrac{2}{18} + \dfrac{6}{18} + \dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}$
因此$□$、$△$和$◯$分别表示$9$、$3$和$2$。
$9 + 3 + 2 = 14$
答：这三个自然数的和是$14$。
1. 在下面的$◯$里填$4$个连续的自然数，使得等式成立。
$\dfrac{1}{◯} + \dfrac{1}{◯} + \dfrac{1}{◯} + \dfrac{1}{◯} = \dfrac{19}{20}$
答案：1. $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{19}{20} $ 【提示】先把$ \frac{19}{20} $通分成$ \frac{57}{60} $，再把57进行分解，$ 57 = 10 + 12 + 15 + 20 $，然后约分成最简分数。
解析：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{19}{20}$
例 2 现有$\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{1}{3}$、$\dfrac{1}{4}$、$\dfrac{1}{6}$、$\dfrac{1}{12}$共$5$个分数，选择合适的分数将等式补充完整。(每个等式中每个分数只能用一次)
(1) (
$\dfrac{1}{2}$
)$ + $(
$\dfrac{1}{3}$
)$ + $(
$\dfrac{1}{6}$
)$ = 1$
(2) (
$\dfrac{1}{2}$
)$ + $(
$\dfrac{1}{4}$
)$ + $(
$\dfrac{1}{6}$
)$ + $(
$\dfrac{1}{12}$
)$ = 1$
答案：思路分析
将这几个分数都化成分母是$12$、大小不变的分数，分别是$\dfrac{6}{12}$、$\dfrac{4}{12}$、$\dfrac{3}{12}$、$\dfrac{2}{12}$和$\dfrac{1}{12}$，再进行合理组合。$\dfrac{6}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{2}{12} = 1$，即$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1$。$\dfrac{6}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} + \dfrac{1}{12} = 1$，即$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = 1$。解答：(1)$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 1$
(2)$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = 1$
2. 在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立。
$\dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{( )} + \dfrac{1}{( )}$
答案：2. $ \frac{1}{18} = \frac{1}{54} + \frac{1}{27} $（答案不唯一） 【提示】选18的2个因数1和2，$ 1 + 2 = 3 $，将$ \frac{1}{18} $分子与分母同时乘3，得$ \frac{1}{18} = \frac{3}{54} = \frac{1}{54} + \frac{2}{54} = \frac{1}{54} + \frac{1}{27} $。
解析：
$\dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{54} + \dfrac{1}{27}$
3. 两个分数$\dfrac{1}{a}$和$\dfrac{1}{b}$（$a$、$b$为互不相同的质数，且$a ＜ b$），通分后两个分数分子的和是$9$，这两个分数分别是多少？
答案：3. 这两个分数分别是$ \frac{1}{2} $和$ \frac{1}{7} $。 【提示】因为分母是互不相同的质数，所以a、b的最小公倍数是$ a × b $，通分为$ \frac{b}{ab} $和$ \frac{a}{ab} $，通分后的分子之和是9，所以$ a + b = 9 $，只有$ 2 + 7 = 9 $满足题意，所以这两个分数分别是$ \frac{1}{2} $和$ \frac{1}{7} $。
解析：
因为$a$、$b$为互不相同的质数，所以通分后的分母为$ab$，通分后两个分数为$\frac{b}{ab}$和$\frac{a}{ab}$。通分后分子的和是$9$，即$a + b = 9$。满足$a$、$b$为互不相同质数且$a ＜ b$的$a = 2$，$b = 7$。所以这两个分数分别是$\frac{1}{2}$和$\frac{1}{7}$。
