例 1
从四边形 4 个内角中任取 2 个求和，共有 6 种情况，其中大于 $180^{\circ}$ 的和最多有多少种？
解析
如右图，设四个角分别是 $∠ A$、$∠ B$、$∠ C$、$∠ D$，则 $∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360^{\circ}$，6 个和分别为：$∠ A+∠ B$，$∠ A+∠ C$，$∠ A+∠ D$，$∠ B+∠ C$，$∠ B+∠ D$，$∠ C+∠ D$。可以分三组讨论：
（1）$∠ A+∠ B$ 和 $∠ C+∠ D$，若 $∠ A+∠ B＞180^{\circ}$，则 $∠ C+∠ D＜180^{\circ}$；
（2）$∠ A+∠ C$ 和 $∠ B+∠ D$，若 $∠ A+∠ C＞180^{\circ}$，则 $∠ B+∠ D＜180^{\circ}$；
（3）$∠ A+∠ D$ 和 $∠ B+∠ C$，若 $∠ A+∠ D＞180^{\circ}$，则 $∠ B+∠ C＜180^{\circ}$，所以大于 $180^{\circ}$ 的和最多有 3 种。
答案
大于 $180^{\circ}$ 的和最多有 3 种。
小结
列举所有情况，然后分组讨论，是研究数学问题的一种常用方式。
答案：设四边形的四个内角分别为 $∠A$、$∠B$、$∠C$、$∠D$，则：
$∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°$。
从四个内角中任取两个角求和，共有以下 6 种组合：
$∠A + ∠B$，
$∠A + ∠C$，
$∠A + ∠D$，
$∠B + ∠C$，
$∠B + ∠D$，
$∠C + ∠D$，
将这些组合分成三组进行讨论：
第1组：$∠A + ∠B$ 和 $∠C + ∠D$
如果 $∠A + ∠B ＞ 180°$，则 $∠C + ∠D = 360° - (∠A + ∠B) ＜ 180°$。
第2组：$∠A + ∠C$ 和 $∠B + ∠D$
如果 $∠A + ∠C ＞ 180°$，则 $∠B + ∠D = 360° - (∠A + ∠C) ＜ 180°$。
第3组：$∠A + ∠D$ 和 $∠B + ∠C$
如果 $∠A + ∠D ＞ 180°$，则 $∠B + ∠C = 360° - (∠A + ∠D) ＜ 180°$。
由以上三组讨论可知，在每一组中，至多只有一个组合的和大于 $180°$。
因此，所有 6 种组合中，大于 $180°$ 的和最多有 3 种。
大于 $180°$ 的和最多有 $3$ 种。
例 2
如果两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由(
)拼成。
A. 两个锐角三角形
B. 两个直角三角形
C. 两个钝角三角形
D. 一个锐角三角形和一个钝角三角形
解析
因为拼在一起的两个小三角形一定有两条边重合，这时能组成一个平角，即 $180^{\circ}$。
A. 因为两个锐角的和小于 $180^{\circ}$，所以两个锐角三角形不可能拼成一个大三角形。
B. 因为 $90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$，所以两个直角三角形能拼成一个大三角形。
C. 因为钝角+锐角有可能等于 $180^{\circ}$，所以两个钝角三角形可能拼成一个大三角形。
D. 因为钝角+锐角有可能等于 $180^{\circ}$，所以一个锐角三角形和一个钝角三角形可能拼成一个大三角形。
答案
A
小结
结合平角 $=180^{\circ}$，列举两个角度数的可能性，可以顺利解决问题。
答案：A
解析：
因为两个小三角形拼成大三角形时，拼合处两条边所夹角之和需为$180^{\circ}$。
选项A，锐角三角形三个角都小于$90^{\circ}$，两个锐角相加小于$180^{\circ}$，所以两个锐角三角形不可能拼成一个大三角形。
选项B，两个直角三角形，直角为$90^{\circ}$，$90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$，可以拼成大三角形。
选项C，钝角三角形有一个角大于$90^{\circ}$，另一个钝角三角形中与之拼合的角为锐角时，有可能和为$180^{\circ}$，所以可能拼成大三角形。
选项D，一个锐角三角形中的角与一个钝角三角形中的角，有可能和为$180^{\circ}$，所以可能拼成大三角形。
如右图，木板上有 10 根钉子，任意相邻的两根钉子距离都相等，以这些钉子为顶点，用橡皮筋可套出(
15
)个等边三角形。
答案：15 【提示】若相邻两根钉子间的距离为 1，则套出的等边三角形中，边长为 1 的等边三角形有 9 个，边长为 2 的等边三角形有 3 个，边长为 3 的等边三角形有 1 个，还有如图的 2 个等边三角形:
。
