3. (2025·宿迁期末)(1)如图①，$∠ EFG = 120^{\circ}$，顶点$F$在直线$CD$上，边$FE$，$FG$分别与直线$AB$交于点$M$，$H$，且$∠ CFE+∠ GHB = 60^{\circ}$.求证：$AB// CD$；
(2)如图②，在(1)的条件下分别作$∠ EFD$与$∠ AHG$的平分线$FN$，$HN$交于点$N$，求$∠ N$的度数；
(3)如图③，在(1)的条件下作$∠ CFE$的平分线$FI$，过点$H$作一条射线$HQ$，交直线$FI$于点$P$，当$∠ HPF = 30^{\circ}$时，请直接写出$∠ BHP$与$∠ FHP$的关系式.
答案：3.(1)
∵∠EFG=120°,顶点F在直线CD上,
∴∠CFE+∠GFD=180°−∠EFG=180°−120°=60°.
∵∠CFE+∠GHB=60°,
∴∠GHB=∠GFD,
∴AB//CD.
(2)设∠GFD=$α$,
∵∠EFG=120°,
∴∠EFD=120°+$α$.
∵FN是∠EFD的平分线，
∴∠NFD=$\frac{1}{2}$(120°+$α$)=60°+$\frac{1}{2}$$α$,
∴∠NFH=∠NFD−∠GFD=60°+$\frac{1}{2}$$α$−$α$=60°−$\frac{1}{2}$$α$.
∵AB//CD,
∴∠GHB=∠GFD=$α$.
∵HN是∠AHG的平分线，
∴∠NHG=$\frac{1}{2}$∠AHG=$\frac{1}{2}$(180°−$α$)=90°−$\frac{1}{2}$$α$.
∵∠NHG是△NFH的一个外角，
∴∠N=∠NHG−∠NFH=(90°−$\frac{1}{2}$$α$)−(60°−$\frac{1}{2}$$α$)=30°.
(3)∠BHP+∠FHP=180°或∠FHP−∠BHP=60° 解析:当点P在CD的上方时，如图①所示，过点P作PT//AB.
设∠IFC=$β$,
∵FI平分∠CFE,
∴∠EFI=∠CFI=$β$,则∠GFD=180°−∠EFC−∠EFG=60°−2$β$.
∵AB//CD,
∴∠FHB=∠CFG=120°+2$β$.
∵PT//AB,AB//CD,
∴PT//CD,
∴∠AHP=∠HPT,∠TPF=∠IFC=$β$.又
∵∠HPF=30°,
∴∠AHP=∠HPT=∠HPF−∠FPT=∠HPF−∠IFC=30°−$β$,
∴∠BHP=180°−∠AHP=180°−(30°−$β$)=150°+$β$,
∴∠FHP=∠BHP−∠FHB=150°+$β$−(120°+2$β$)=30°−$β$,
∴∠BHP+∠FHP=150°+$β$+30°−$β$=180°,即∠BHP+∠FHP=180°;
当P在CD的下方时,如图②所示，过点P作PT//AB,
设∠IFC=$β$,
∴∠DFP=∠CFI=$β$.
∵PT//AB,AB//CD,
∴PT//CD,
∴∠FPT=∠DFP=$β$.
∵AB//PT,
∴∠BHP=∠HPT=∠HPF+∠FPT=30°+$β$.
∵∠GFD=180°−∠EFC−∠EFG=60°−2$β$,∠FHB=∠CFG=120°+2$β$,
∴∠FHP=∠FHB−∠BHP=120°+2$β$−(30°+$β$)=90°+$β$,
∴∠FHP−∠BHP=90°+$β$−(30°+$β$)=60°.综上所述,∠BHP+∠FHP=180°或∠FHP−∠BHP=60°.
