26. 【概念认识】如图①，在 $ \angle ABC $ 中，若 $ \angle ABD = \angle DBE = \angle EBC $，则 $ BD $，$ BE $ 叫作 $ \angle ABC $ 的“三分线”. 其中，$ BD $ 是“邻 $ AB $ 三分线”，$ BE $ 是“邻 $ BC $ 三分线”.
【问题解决】
(1)如图②，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 73^{\circ} $，$ \angle B = 42^{\circ} $. 若 $ \angle B $ 的三分线 $ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ D $，则 $ \angle BDC $ 的度数为
.
(2)如图③，在 $ \triangle ABC $ 中，$ BP $，$ CP $ 分别是 $ \angle ABC $ 的“邻 $ AB $ 三分线”和 $ \angle ACB $ 的“邻 $ AC $ 三分线”，且 $ BP ⊥ CP $，求 $ \angle A $ 的度数.
【延伸推广】
(3)在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACD $ 是 $ \triangle ABC $ 的外角，$ \angle ABC $ 的三分线所在的直线与 $ \angle ACD $ 的三分线所在的直线交于点 $ P $. 若 $ \angle A = \alpha $，$ \angle ABC = \beta $，求 $ \angle BPC $ 的度数(用含 $ \alpha $，$ \beta $ 的代数式表示).
答案：26.(1)87°或101°
(2)
∵BP⊥CP，
∴∠BPC=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°.
∵BP,CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，
∴∠PBC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠PCB=$\frac{2}{3}$∠ACB，
∴$\frac{2}{3}$∠ABC+$\frac{2}{3}$∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=135°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180° - 135°=45°
(3)分情况讨论.
①如图①，当BP和CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACD的“邻AC三分线”时，∠PBC=$\frac{2}{3}$∠ABC=$\frac{2}{3}$β，∠PCD=$\frac{2}{3}$∠ACD=$\frac{2}{3}$(∠A+∠ABC)=$\frac{2}{3}$(α+β)，
∴∠BPC=∠PCD - ∠PBC=$\frac{2}{3}$(α+β)-$\frac{2}{3}$β=$\frac{2}{3}$α.
②如图②，当BP和CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACD的“邻AC三分线”时，∠PBC=$\frac{1}{3}$∠ABC=$\frac{1}{3}$β，∠PCD=$\frac{2}{3}$∠ACD=$\frac{2}{3}$(α+β)，
∴∠BPC=∠PCD - ∠PBC=$\frac{2}{3}$(α+β)-$\frac{1}{3}$β=$\frac{2α + β}{3}$.
③当BP和CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACD的“邻CD三分线”时，当α＞β时，如图③，∠PBC=$\frac{2}{3}$∠ABC=$\frac{2}{3}$β，∠PCD=$\frac{1}{3}$∠ACD=$\frac{1}{3}$(α+β)，
∴∠BPC=∠PCD - ∠PBC=$\frac{1}{3}$(α+β)-$\frac{2}{3}$β=$\frac{α - β}{3}$；当α＜β时，如图④，∠FBC=$\frac{2}{3}$∠ABC=$\frac{2}{3}$β，∠PCB=∠DCE=$\frac{1}{3}$∠ACD=$\frac{1}{3}$(α+β)，
∴∠BPC=∠FBC - ∠PCB=$\frac{2}{3}$β - $\frac{1}{3}$(α+β)=$\frac{β - α}{3}$.
④如图⑤，当BP和CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACD的“邻CD三分线”时，∠PBC=$\frac{1}{3}$∠ABC=$\frac{1}{3}$β，∠PCD=$\frac{1}{3}$∠ACD=$\frac{1}{3}$(α+β)，
∴∠BPC=∠PCD - ∠PBC=$\frac{1}{3}$(α+β)-$\frac{1}{3}$β=$\frac{1}{3}$α.
综上所述，∠BPC的度数是$\frac{2}{3}$α或$\frac{2α + β}{3}$或$\frac{α - β}{3}$或$\frac{β - α}{3}$或$\frac{1}{3}$α.
