14. (2025·上海模拟·8分)某科技小组制作了一个水位仪，其内部简化电路如图甲，已知电源电压恒为18V.一根轻质绝缘细杆上端与滑片P固定，下端与棱长为10cm的正方体木块A相连，木块A放在足够高的圆柱形容器内.未注水时，滑片P刚好在滑动变阻器R₁的下端，现向容器中缓慢注水，滑片P随A的浮动在滑动变阻器R₁上滑动，滑片P不能离开R₁.R₁由两种材料组成，ab段是铜导线，其电阻可忽略不计，剩余部分材料相同且电阻大小与自身长度成正比，定值电阻R₂的电功率与水位深度H的关系如图乙.(不计绝缘杆、滑片的体积和自重及滑片处的摩擦)求：
(1) R₂的阻值.
(2) 滑动变阻器R₁的最大阻值.
(3) 若电流表选用0~3A量程，电压表选用0~15V量程，在电路安全范围内，水位的最大深度.
答案：14.(1)$10\Omega$ (2)$80\Omega$ (3)$21.5\mathrm{ cm}$ 解析：由图甲可知，闭合开关S，滑动变阻器$R_1$与定值电阻$R_2$串联，电压表测$R_1$两端的电压，电流表测电路中电流.(1)未注水时，滑片P刚好在$R_1$的下端，$R_1$接入电路的阻值为$0$，电路为$R_2$的简单电路，由图乙可知，此时$R_2$的电功率最大为$P_{2max}=32.4\mathrm{ W}$，由$P=\frac{U^2}{R}$可得，$R_2$的阻值$R_2=\frac{U^2}{P_{2max}}=\frac{(18\mathrm{ V})^2}{32.4\mathrm{ W}}=10\Omega$.(2)$R_1$接入电路的阻值最大时，电路的总电阻最大，由欧姆定律可知，电路中电流最小，由$P=I^2R$可知，$R_2$的电功率最小，由图乙可知，$R_2$的最小电功率$P_{2min}=0.4\mathrm{ W}$，此时电路中的电流$I_{min}=\sqrt{\frac{P_{2min}}{R_2}}=\sqrt{\frac{0.4\mathrm{ W}}{10\Omega}}=0.2\mathrm{ A}$，由欧姆定律可得，电路的总电阻$R_{max}=\frac{U}{I_{min}}=\frac{18\mathrm{ V}}{0.2\mathrm{ A}}=90\Omega$，则$R_1$的最大阻值$R_{1max}=R_{max}-R_2=90\Omega-10\Omega=80\Omega$.(3)由图乙可知，水深为$11\mathrm{ cm}$时，$R_2$的电功率$P_2=3.6\mathrm{ W}$，由$P=I^2R$可得，此时电路中的电流$I=\sqrt{\frac{P_2}{R_2}}=\sqrt{\frac{3.6\mathrm{ W}}{10\Omega}}=0.6\mathrm{ A}$，电路的总电阻$R=\frac{U}{I}=\frac{18\mathrm{ V}}{0.6\mathrm{ A}}=30\Omega$，$R_1$接入电路的阻值$R_1=R-R_2=30\Omega-10\Omega=20\Omega$，由图乙可知，水深为$6∼11\mathrm{ cm}$时，滑片P从$R_1$下端移到a点，滑片移动的距离为$11\mathrm{ cm}-6\mathrm{ cm}=5\mathrm{ cm}$，即a点以下部分的长度为$5\mathrm{ cm}$，由串联分压可知，$R_1$接入电路的阻值越大，电压表示数越大，所以，电压表示数最大时$R_1$接入电路的阻值最大，此时水位的深度最大，电压表选用$0∼15\mathrm{ V}$量程，最大示数为$15\mathrm{ V}$，由串联电路的电压规律可得，此时$R_2$两端的电压$U_{2min}=U-U_{1max}=18\mathrm{ V}-15\mathrm{ V}=3\mathrm{ V}$，电路中的电流$I'=\frac{U_{2min}}{R_2}=\frac{3\mathrm{ V}}{10\Omega}=0.3\mathrm{ A}$，$R_1$接入电路的阻值$R_{1}'=\frac{U_{1max}}{I'}=\frac{15\mathrm{ V}}{0.3\mathrm{ A}}=50\Omega$，则$R_1$接入电路的电阻部分的长度$L=\frac{5\mathrm{ cm}}{20\Omega}×50\Omega=12.5\mathrm{ cm}$，由图乙可知，水深为$11∼14\mathrm{ cm}$时，滑片P从$R_1$的a点移到b点，则$ab$段铜导线的长度为$14\mathrm{ cm}-11\mathrm{ cm}=3\mathrm{ cm}$，滑片从下端向上移动的距离为$12.5\mathrm{ cm}+3\mathrm{ cm}=15.5\mathrm{ cm}$，所以水位的最大深度$H=15.5\mathrm{ cm}+6\mathrm{ cm}=21.5\mathrm{ cm}$.
解析：
(1)由图甲知，$R_1$与$R_2$串联，电压表测$R_1$电压，电流表测电路电流。未注水时，$R_1$接入电阻为$0$，电路为$R_2$简单电路，由图乙知此时$R_2$功率最大$P_{2max}=32.4\ \mathrm{W}$。根据$P=\frac{U^2}{R}$，$R_2=\frac{U^2}{P_{2max}}=\frac{(18\ \mathrm{V})^2}{32.4\ \mathrm{W}}=10\ \Omega$。
(2)$R_1$接入电阻最大时，电路总电阻最大，电流最小，$R_2$功率最小。由图乙知$P_{2min}=0.4\ \mathrm{W}$，此时电流$I_{min}=\sqrt{\frac{P_{2min}}{R_2}}=\sqrt{\frac{0.4\ \mathrm{W}}{10\ \Omega}}=0.2\ \mathrm{A}$。总电阻$R_{max}=\frac{U}{I_{min}}=\frac{18\ \mathrm{V}}{0.2\ \mathrm{A}}=90\ \Omega$，则$R_1$最大阻值$R_{1max}=R_{max}-R_2=90\ \Omega-10\ \Omega=80\ \Omega$。
(3)由图乙，水深$11\ \mathrm{cm}$时$P_2=3.6\ \mathrm{W}$，电流$I=\sqrt{\frac{P_2}{R_2}}=\sqrt{\frac{3.6\ \mathrm{W}}{10\ \Omega}}=0.6\ \mathrm{A}$，总电阻$R=\frac{U}{I}=\frac{18\ \mathrm{V}}{0.6\ \mathrm{A}}=30\ \Omega$，$R_1=R-R_2=30\ \Omega-10\ \Omega=20\ \Omega$。水深$6∼11\ \mathrm{cm}$时，滑片移动$5\ \mathrm{cm}$对应$R_1=20\ \Omega$，电阻与长度成正比，比例系数为$\frac{5\ \mathrm{cm}}{20\ \Omega}=0.25\ \mathrm{cm/}\Omega$。电压表最大示数$15\ \mathrm{V}$时，$R_2$电压$U_{2min}=18\ \mathrm{V}-15\ \mathrm{V}=3\ \mathrm{V}$，电流$I'=\frac{U_{2min}}{R_2}=\frac{3\ \mathrm{V}}{10\ \Omega}=0.3\ \mathrm{A}$，$R_1'=\frac{15\ \mathrm{V}}{0.3\ \mathrm{A}}=50\ \Omega$，对应长度$L=50\ \Omega×0.25\ \mathrm{cm/}\Omega=12.5\ \mathrm{cm}$。水深$11∼14\ \mathrm{cm}$为$ab$段（铜导线，电阻为$0$），长度$3\ \mathrm{cm}$。滑片总移动距离$12.5\ \mathrm{cm}+3\ \mathrm{cm}=15.5\ \mathrm{cm}$，水位最大深度$H=15.5\ \mathrm{cm}+6\ \mathrm{cm}=21.5\ \mathrm{cm}$。
(1)$10\ \Omega$；(2)$80\ \Omega$；(3)$21.5\ \mathrm{cm}$
