3. (2025·重庆·6 分)2025 年 4 月 28 日，全球首艘高速可潜无人艇“蓝鲸号”下水，如图所示，其体积为 12 m³，依靠智能压载水舱系统进行浮沉调节，可实现数十米深的下潜、静态悬浮和水下航行. (近海水密度取 $ \rho_{水} = 1.0×10^{3} $ kg/m³)求：
(1) “蓝鲸号”在近海悬浮时所受浮力.
(2) “蓝鲸号”在近海悬浮时，距海面 20 m 处的顶部受到海水的压强.
(3) 若“蓝鲸号”从近海水平潜行至远海，海水密度突变为 $ 1.03×10^{3} $ kg/m³ 时，至少应增加多少自重才能防止上浮.
答案：$3.(1) 1.2×10^{5} N (2) 2×10^{5} Pa (3) 3600 N$
解析：(1) “蓝鲸号”在近海悬浮时，排开海水的体积$V_{排}=V=12 m^{3}，$由阿基米德原理可得，所受的浮力$F_{浮}=\rho_{水} V_{排} g=1.0×10^{3} kg/m^{3}×12 m^{3}×10 N/kg=1.2×10^{5} N.(2) “$蓝鲸号”在近海悬浮时，距海面 20 m处的顶部受到海水的压强$ p=\rho_{水}gh=1.0×10^{3} kg/m^{3}×10 N/kg×20 m=2×10^{5} Pa.(3) “$蓝鲸号”从近海水平潜行至远海，海水密度突变为$ 1.03×10^{3} kg/m^{3}$时，“蓝鲸号”所受的浮力$F_{浮}'=\rho_{海水} V_{排} g=1.03×10^{3} kg/m^{3}×12 m^{3}×10 N/kg=1.236×10^{5} N，$由于“蓝鲸号”悬浮时受到的浮力等于自身重力，所以为了防止上浮，应增加的自重$\Delta G=F_{浮}'-F_{浮}=1.236×10^{5} N-1.2×10^{5} N=3600 N.$
4. (7 分)正在建设的雄安新区有多台塔吊 24 小时不停工作，被称为中国最大的塔吊群. 如图甲，塔吊的塔臂相当于以 $ O $ 点为支点的杠杆，起重臂上的滑轮组如图乙. 已知配重质量为 $ 4.5×10^{3} $ kg，塔吊钢丝绳拉力 $ F $ 的功率为 9 kW，平衡臂长 10 m，在拉力 $ F $ 作用下，重为 $ 2×10^{4} $ N 的货箱以 0.4 m/s 的速度匀速竖直上升. 不计摩擦、钢丝绳重和塔臂自身的重力， $ g $ 取 10 N/kg. 求：
(1) 动滑轮的质量.
(2) 塔吊滑轮组的机械效率(保留一位小数).
(3) 当塔臂在水平位置平衡时，货箱与支点 $ O $ 的水平距离.
答案：4.(1) 250 kg (2) 88.9\% (3) 20 m 解析：(1) 由图乙可知，动滑轮上钢丝绳的段数n=3，则钢丝绳自由端的移动速度$v_{绳}=nv=3×0.4 m/s=1.2 m/s，$由P=Fv可得，绳子自由端的拉力$F=\frac{P}{v_{绳}}=\frac{9×10^{3} W}{1.2 m/s}=7.5×10^{3} N，$不计摩擦、钢丝绳重，拉力$F=\frac{1}{n}(G+G_{动})，$则动滑轮的重力$G_{动}=nF-G=3×7.5×10^{3} N-2×10^{4} N=2.5×10^{3} N，$由G=mg可得，动滑轮的质量$m_{动}=\frac{G_{动}}{g}=\frac{2.5×10^{3} N}{10 N/kg}=250 kg.(2) $塔吊滑轮组的机械效率$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}}×100\%=\frac{Gh}{Fnh}×100\%=\frac{G}{nF}×100\%=\frac{2×10^{4} N}{3×7.5×10^{3} N}×100\%≈88.9\%.(3) $配重的重力$G_{配重}=m_{配重}g=4.5×10^{3} kg×10 N/kg=4.5×10^{4} N，$滑轮组及货箱的总重力$G_{总}=G+G_{动}=2×10^{4} N+2.5×10^{3} N=2.25×10^{4} N，$由杠杆的平衡条件可得$G_{配重} l_{平衡臂}=G_{总} l，$即$4.5×10^{4} N×10 m=2.25×10^{4} N×l，$解得l=20 m，即货箱与支点O的水平距离为 20 m.
解析：
(1) 由图乙可知，动滑轮上钢丝绳的段数$n=3$，钢丝绳自由端的移动速度$v_{绳}=nv=3×0.4\ \mathrm{m/s}=1.2\ \mathrm{m/s}$，由$P=Fv$可得，绳子自由端的拉力$F=\frac{P}{v_{绳}}=\frac{9×10^{3}\ \mathrm{W}}{1.2\ \mathrm{m/s}}=7.5×10^{3}\ \mathrm{N}$，不计摩擦、钢丝绳重，拉力$F=\frac{1}{n}(G+G_{动})$，则动滑轮的重力$G_{动}=nF - G=3×7.5×10^{3}\ \mathrm{N}-2×10^{4}\ \mathrm{N}=2.5×10^{3}\ \mathrm{N}$，由$G=mg$可得，动滑轮的质量$m_{动}=\frac{G_{动}}{g}=\frac{2.5×10^{3}\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=250\ \mathrm{kg}$。
(2) 塔吊滑轮组的机械效率$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}}×100\%=\frac{Gh}{Fnh}×100\%=\frac{G}{nF}×100\%=\frac{2×10^{4}\ \mathrm{N}}{3×7.5×10^{3}\ \mathrm{N}}×100\%\approx88.9\%$。
(3) 配重的重力$G_{配重}=m_{配重}g=4.5×10^{3}\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=4.5×10^{4}\ \mathrm{N}$，滑轮组及货箱的总重力$G_{总}=G + G_{动}=2×10^{4}\ \mathrm{N}+2.5×10^{3}\ \mathrm{N}=2.25×10^{4}\ \mathrm{N}$，由杠杆的平衡条件可得$G_{配重}l_{平衡臂}=G_{总}l$，即$4.5×10^{4}\ \mathrm{N}×10\ \mathrm{m}=2.25×10^{4}\ \mathrm{N}× l$，解得$l=20\ \mathrm{m}$。
5. (2025·陕西西安二模·8 分)小明将力传感器固定在铁架台上，底面积为 $ 40 $ cm² 的实心均匀圆柱体 $ A $ 通过轻质细线与力传感器相连，力传感器可测量细线拉力的大小. 重 3 N、底面积 100 cm² 的薄壁柱形溢水杯 $ B $ 放在水平升降台上，装有 23 cm 深的水，如图甲所示. 从某时刻开始让升降台上升使 $ A $ 逐渐浸入水中，力传感器所测力的大小 $ F $ 与升降台上升高度 $ h $ 的关系如图乙所示. 当升降台上升高度为 8 cm 时，水对 $ A $ 下表面的压强为 500 Pa. 不计细线的伸缩， $ A $ 始终保持竖直，且不吸水. (水的密度为 $ 1.0×10^{3} $ kg/m³， $ g $ 取 10 N/kg)求：
(1) 圆柱体 $ A $ 的质量.
(2) 图乙中 $ F_{1} $ 的大小.
(3) 当 $ A $ 浸没入水中后剪断细线，升降台和 $ A $ 都静止时，溢水杯对升降台的压强.
(4) 制作圆柱体 $ A $ 的材料的密度.
答案：$5.(1) 1.2 kg (2) 10 N (3) 3400 Pa (4) 2×10^{3} kg/m^{3} $解析：(1) 由图乙可知，升降台上升高度为 0～5 cm时，F的大小最大且不变说明圆柱体A没有接触水面，则此时力传感器所测拉力等于A的重力，则A的重力$G_{A}=F_{max}=12 N，$由G=mg可得，A的质量$m_{A}=\frac{G_{A}}{g}=\frac{12 N}{10 N/kg}=1.2 kg.(2) $由图乙可知，升降台上升高度$h_{1}=8 cm-5 cm=3 cm$时，液面上升的高度$\Delta h=\frac{S_{A}h_{1}}{S_{容}-S_{A}}=\frac{40 cm^{2}×3 cm}{100 cm^{2}-40 cm^{2}}=2 cm，$则圆柱体A浸入水中的高度$h=h_{1}+\Delta h=3 cm+2 cm=5 cm，$此时圆柱体A受到的浮力$F_{浮}=\rho_{水} V_{排} g=\rho_{水} S_{A}hg=1.0×10^{3} kg/m^{3}×40×5×10^{-6} m^{3}×10 N/kg=2 N，$此时圆柱体A受到竖直向上的拉力$F_{1}、$浮力$F_{浮}$和竖直向下的重力，三力平衡，则拉力$F_{1}=G_{A}-F_{浮}=12 N-2 N=10 N.(3) $由图乙可知，升降台上升高度为 8 cm时溢水杯开始有水溢出，直到 18 cm时圆柱体A浸没在水中，期间A排开水的体积即溢出水的体积$V_{溢}=V_{排1}=S_{A}\Delta h_{1}=40 cm^{2}×(18 cm-8 cm)=400 cm^{3}，$则溢出水的重力$G_{溢}=\rho_{水} V_{溢} g=1.0×10^{3} kg/m^{3}×400×10^{-6} m^{3}×10 N/kg=4 N，$溢水杯中原来水的重力$G_{水}=\rho_{水} V_{水} g=1.0×10^{3} kg/m^{3}×100×23×10^{-6} m^{3}×10 N/kg=23 N，$剪断细线后溢水杯对升降台的压力$F_{压}=G_{B}+G_{A}+G_{水}-G_{溢}=3 N+12 N+23 N-4 N=34 N，$则溢水杯对升降台的压强$p=\frac{F_{压}}{S_{B}}=\frac{34 N}{100×10^{-4} m^{2}}=3400 Pa.(4) $圆柱体A的高度$h_{A}=h+\Delta h_{1}=5 cm+(18 cm-8 cm)=15 cm，$则其体积$V_{A}=S_{A}h_{A}=40 cm^{2}×15 cm=600 cm^{3}=6×10^{-4} m^{3}，$所以圆柱体A的密度$\rho_{A}=\frac{m_{A}}{V_{A}}=\frac{1.2 kg}{6×10^{-4} m^{3}}=2×10^{3} kg/m^{3}.$
解析：
(1) 由图乙可知，升降台上升高度为0～5 cm时，力传感器所测拉力最大且不变，此时A未接触水面，拉力等于A的重力，即$G_{A}=F_{\mathrm{max}}=12\ \mathrm{N}$。由$G=mg$得，$m_{A}=\frac{G_{A}}{g}=\frac{12\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1.2\ \mathrm{kg}$。
(2) 升降台上升高度$h_{1}=8\ \mathrm{cm}-5\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{cm}$，液面上升高度$\Delta h=\frac{S_{A}h_{1}}{S_{\mathrm{容}}-S_{A}}=\frac{40\ \mathrm{cm}^{2}×3\ \mathrm{cm}}{100\ \mathrm{cm}^{2}-40\ \mathrm{cm}^{2}}=2\ \mathrm{cm}$，A浸入水中高度$h=h_{1}+\Delta h=3\ \mathrm{cm}+2\ \mathrm{cm}=5\ \mathrm{cm}=0.05\ \mathrm{m}$。浮力$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}S_{A}hg=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×40×10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}×0.05\ \mathrm{m}×10\ \mathrm{N/kg}=2\ \mathrm{N}$，则$F_{1}=G_{A}-F_{\mathrm{浮}}=12\ \mathrm{N}-2\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$。
(3) A浸没时，溢出水体积$V_{\mathrm{溢}}=S_{A}\Delta h_{1}=40\ \mathrm{cm}^{2}×(18\ \mathrm{cm}-8\ \mathrm{cm})=400\ \mathrm{cm}^{3}=4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$，$G_{\mathrm{溢}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{溢}}g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×4×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}×10\ \mathrm{N/kg}=4\ \mathrm{N}$。溢水杯中水的重力$G_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}S_{\mathrm{容}}h_{\mathrm{水}}g=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}×100×10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}×0.23\ \mathrm{m}×10\ \mathrm{N/kg}=23\ \mathrm{N}$。压力$F_{\mathrm{压}}=G_{B}+G_{A}+G_{\mathrm{水}}-G_{\mathrm{溢}}=3\ \mathrm{N}+12\ \mathrm{N}+23\ \mathrm{N}-4\ \mathrm{N}=34\ \mathrm{N}$，压强$p=\frac{F_{\mathrm{压}}}{S_{B}}=\frac{34\ \mathrm{N}}{100×10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}}=3400\ \mathrm{Pa}$。
(4) A的高度$h_{A}=5\ \mathrm{cm}+(18\ \mathrm{cm}-8\ \mathrm{cm})=15\ \mathrm{cm}=0.15\ \mathrm{m}$，体积$V_{A}=S_{A}h_{A}=40×10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}×0.15\ \mathrm{m}=6×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}$，密度$\rho_{A}=\frac{m_{A}}{V_{A}}=\frac{1.2\ \mathrm{kg}}{6×10^{-4}\ \mathrm{m}^{3}}=2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$。
答案：(1) $1.2\ \mathrm{kg}$；(2) $10\ \mathrm{N}$；(3) $3400\ \mathrm{Pa}$；(4) $2×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$
