27. (9分)小明爸爸购置了一套智能咖啡机.如图甲所示,将平底薄壁直圆筒状空杯子放在咖啡机的水平杯座上接咖啡,杯子高度为10cm,杯子底面积为$3×10^{-3}m^{2}$,若接满一杯咖啡的过程中杯座受到的压力F随着杯中咖啡的高度h变化的图像如图乙所示.请你计算:(g取10N/kg)
(1) 杯子装满咖啡时,杯底受到咖啡的压力.
(2) 杯中咖啡的密度.
(3) 杯子装满咖啡时,杯子对杯座的压强.
答案：27.(1) 3.6N (2) 1.2×10³kg/m³ (3) 1500Pa
解析：(1) 由图乙可知，没有装咖啡时杯座受到的压力F₀ = 0.9N，此时杯座受到的压力大小等于杯子的重力，则杯子的重力G杯 = 0.9N，装满咖啡时杯座受到的压力F = 4.5N，即此时杯子与咖啡的总重力G总 = 4.5N，则此时咖啡的重力G = G总 - G杯 = 4.5N - 0.9N = 3.6N，杯底受到咖啡的压力等于咖啡的重力，所以杯底受到咖啡的压力F压 = G啡 = 3.6N。(2) 由G = mg可得，装满咖啡时咖啡的质量m = G / g = 3.6N / 10N/kg = 0.36kg，咖啡的体积V = V杯 = Sh = 3×10⁻³m²×0.1m = 3×10⁻⁴m³，则咖啡的密度ρ = m咖啡 / V咖啡 = 0.36kg / (3×10⁻⁴m³) = 1.2×10³kg/m³。(3) 杯子装满咖啡时，杯子对杯座的压强p = F / S = 4.5N / (3×10⁻³m²) = 1500Pa。
28. (9分)(2025·四川成都模拟)如图所示,一足够高的底面为正方形的薄壁容器放在水平桌面上,正方形的边长为10cm,容器内某液体的质量为2000g,液体的深度为10cm.实心圆柱体A的质量为600g,底面积为$20cm^{2}$,高度为20cm且不吸水,g取10N/kg.
(1) 求液体的密度.
(2) 若将圆柱体A竖直放入容器内,请分析圆柱体A静止时所处的状态(请写出详细分析过程),并算出此时圆柱体A受到的浮力大小.
(3) 若在第(2)问的基础上将A竖直向上提升1cm,求静止时液体对容器底部的压强p.
答案：28.(1) 2g/cm³ (2) 沉底 5N (3) 2.45×10³Pa
解析：(1) 某液体的深度为10cm，则其体积V = Sh = 10cm×10cm×10cm = 1000cm³，液体的质量为2000g，则其密度ρ = m / V = 2000g / 1000cm³ = 2g/cm³。
(2) 圆柱体A的密度ρA = mA / VA = 600g / (20cm×20cm) = 1.5g/cm³，圆柱体的密度比液体的密度小，当液体足够深时，圆柱体会漂浮，设A浸入液体的深度为h，根据漂浮的条件知，漂浮时A所受浮力F浮 = G = mg = 0.6kg×10N/kg = 6N，根据阿基米德原理可得，此时排开液体的体积V排 = F浮 / (ρ液g) = 6N / (2×10³kg/m³×10N/kg) = 3×10⁻⁴m³ = 300cm³，液体的深度H = V总 / S = (1000cm³ + 300cm³) / (10cm×10cm) = 13cm，圆柱体浸入液体的深度h浸 = V排 / SA = 300cm³ / 20cm² = 15cm，液体深度小于圆柱体浸入液体的深度，不符合实际，则静止时A不能漂浮，而是处于沉底状态，设此时液体的深度为H'，则有SH' = V + SAH'，代入数据：10cm×10cm×H' = 1000cm³ + 20cm²×H'，解得H' = 12.5cm = 0.125m，此时A受到的浮力F浮' = ρ液V排'g = 2×10³kg/m³×20×12.5×10⁻⁶m³×10N/kg = 5N。(3) 在第(2)问的基础上将A竖直向上提升1cm，设液面下降的高度为Δh，SA(Δh + h提) = SΔh，即20cm²×(1cm + Δh) = 10cm×10cm×Δh，解得Δh = 0.25cm，故静止时液体深度h' = H' - Δh = 12.5cm - 0.25cm = 12.25cm = 0.1225m，液体对容器底部的压强p = ρ液gh' = 2×10³kg/m³×10N/kg×0.1225m = 2.45×10³Pa。
