【变式2】
如图，在$\triangle ABC$中，$BC = \sqrt{6} + \sqrt{2}$，$\angle C = 45^{\circ}$，$AB = \sqrt{2}AC$，则$AC$的长为(
B
)
A.$\sqrt{2} + 1$
B.$2$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{2} + \sqrt{3}$
答案：【变式2】B
解析：
解：设$AC = x$，则$AB = \sqrt{2}x$。
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，设$CD = AD = y$（$\angle C = 45°$，等腰直角三角形性质）。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD = BC - CD = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - y$，$AD = y$，$AB = \sqrt{2}x$。
由勾股定理得：$BD^2 + AD^2 = AB^2$，即$[(\sqrt{6} + \sqrt{2}) - y]^2 + y^2 = (\sqrt{2}x)^2$。
在$Rt\triangle ADC$中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$，即$x^2 = y^2 + y^2 = 2y^2$，故$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
将$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x$代入$[(\sqrt{6} + \sqrt{2}) - y]^2 + y^2 = 2x^2$：
$\begin{aligned}(\sqrt{6} + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 &= 2x^2\\(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})·\frac{\sqrt{2}}{2}x + (\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 &= 2x^2\\(6 + 2\sqrt{12} + 2) - (\sqrt{6} + \sqrt{2})\sqrt{2}x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^2 &= 2x^2\\8 + 4\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 2)x + x^2 &= 2x^2\\x^2 + (2\sqrt{3} + 2)x - (8 + 4\sqrt{3}) &= 0\end{aligned}$
解得$x = 2$（负根舍去），即$AC = 2$。
答案：B
典例3 (2025·江苏泰州模拟)
如图①，在四边形$ABCD$中，$DA⊥ BA$，$DC⊥ BC$。若$\tan B = \frac{4}{3}$，$DA = 3$，$DC = 7$，求四边形$ABCD$的面积。
答案：【思路分析】由$\angle C = 90^{\circ}$，$DA = 3$，可以想到延长$CD$，$BA$，使它们相交构成直角三角形，这样可把求四边形$ABCD$的面积转化成求两个直角三角形的面积之差。
【答案】如图②，延长$CD$，$BA$交于点$E$。因为$DA⊥ BA$，$DC⊥ BC$，所以$\angle DAE = \angle BCE = 90^{\circ}$，所以$\angle ADE + \angle E = 90^{\circ}$，$\angle B + \angle E = 90^{\circ}$，所以$\angle ADE = \angle B$，所以$\tan\angle ADE = \tan B = \frac{4}{3}$。因为$DA = 3$，所以$AE = DA·\tan\angle ADE = 4$，所以$S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2}DA· AE = 6$，$DE = \sqrt{DA^{2} + AE^{2}} = 5$。因为$DC = 7$，所以$CE = DC + DE = 12$，所以$BC = \frac{CE}{\tan B} = 9$，所以$S_{\triangle BCE} = \frac{1}{2}BC· CE = 54$，所以$S_{四边形ABCD} = S_{\triangle BCE} - S_{\triangle ADE} = 48$。故四边形$ABCD$的面积为$48$。
【变式3】
如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是高，$E$是边$AB$上一点，$CE$交$AD$于点$F$，且$AD:BD:CD:DF = 12:5:3:4$，则$\sin\angle BEC$的值为(
C
)
A.$\frac{7}{8}$
B.$\frac{8}{9}$
C.$\frac{56}{65}$
D.$\frac{59}{64}$
答案：【变式3】C 解析：过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，则FG//CH，∠CHB=∠AGF=90°.设BD=5x，则AD=12x，CD=3x，DF=4x，所以BC=BD+CD=8x.因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，所以$AB=√{AD^{2}+BD^{2}}=13x，$$CF=√{CD^{2}+DF^{2}}=5x，$AF=AD-DF=8x.因为sin∠BAD=FG/AF=BD/AB=5/13，所以FG=5/13AF=40/13x.因为sin B=CH/BC=AD/AB=12/13，所以CH=12/13BC=96/13x.因为FG//CH，所以△EFG∽△ECH，所以EF/EC=FG/CH=5/12，所以EF=5/7CF=25/7x，所以sin∠BEC=FG/EF=56/65.
