典例2 (2025·江苏无锡模拟) 如图, 一路灯距地面 $ 5.6 $ m, 身高 $ 1.6 $ m 的小方从距离灯的底部(点 $ O $) $ 5 $ m 的点 $ A $ 处, 沿 $ OA $ 所在的直线行走到点 $ C $ 时, 影长增加 $ 3 $ m, 则小方行走的路程是
7.5
m.
答案：【思路分析】因为 $ AE // OG $, 所以 $ \triangle ABE ∼ \triangle OBG $, 所以 $\frac{AB}{OB} = \frac{AE}{OG}$. 设 $ AB = x $ m. 因为 $ OA = 5 $ m, 所以 $ OB = OA + AB = (5 + x) $ m. 因为 $ AE = 1.6 $ m, $ OG = 5.6 $ m, 所以 $\frac{x}{5 + x} = \frac{1.6}{5.6}$, 解得 $ x = 2 $. 经检验, $ x = 2 $ 是原分式方程的解且符合题意, 则 $ AB = 2 $ m. 因为 $ CF // OG $, 所以 $ \triangle CDF ∼ \triangle ODG $, 所以 $\frac{CD}{OD} = \frac{CF}{OG}$. 设 $ AC = y $ m. 因为 $ CD = 2 + 3 = 5 $(m), 所以 $ OD = OA + AC + CD = (y + 10) $ m, 所以 $\frac{5}{y + 10} = \frac{1.6}{5.6}$, 解得 $ y = 7.5 $. 经检验, $ y = 7.5 $ 是原分式方程的解且符合题意, 则 $ AC = 7.5 $ m. 故小方行走的路程是 $ 7.5 $ m.
【答案】$ 7.5 $
【变式2】如图, 小华在晚上由路灯 $ A $ 走向路灯 $ B $. 当他走到点 $ P $ 时, 发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯 $ A $ 的底部; 当他向前再步行 $ 12 $ m 到达点 $ Q $ 时, 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 $ B $ 的底部. 已知小华的身高是 $ 1.6 $ m, 两个路灯的高度都是 $ 9.6 $ m, 且 $ AP = BQ $.
(1) 求两个路灯之间的距离;
(2) 当小华走到路灯 $ B $ 的底部时, 他在路灯 $ A $ 下的影长是多少?
答案：(1) 如图①，因为PM//BD，所以△APM∽△ABD，所以$\frac{AP}{AB} = \frac{PM}{BD}$。设AP = BQ = x m。因为PQ = 12 m，所以AB = AP + PQ + BQ = (2x + 12) m。因为PM = 1.6 m，BD = 9.6 m，所以$\frac{x}{2x + 12} = \frac{1.6}{9.6}$，解得x = 3。经检验，x = 3是原分式方程的解且符合题意，则AB = 18 m。故两个路灯之间的距离为18 m。
(2) 如图②，当小华走到路灯B的底部时，假设他在路灯A下的影子为BF。因为BE//AC，所以△FBE∽△FAC，所以$\frac{BF}{AF} = \frac{BE}{AC}$。设BF = y m。因为AB = 18 m，所以AF = AB + BF = (y + 18) m。因为BE = 1.6 m，AC = 9.6 m，所以$\frac{y}{y + 18} = \frac{1.6}{9.6}$，解得y = 3.6。经检验，y = 3.6是原分式方程的解且符合题意，则BF = 3.6 m。故当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是3.6 m。
