典例 1
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 45^{\circ}$，$BD$，$CE$分别是边$AC$，$AB$上的高，连接$DE$。若$BC = 2$，则$DE$的长为(
)
A.$\sqrt{5}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案：【思路分析】因为$BD$，$CE$分别是$\triangle ABC$的边$AC$，$AB$上的高，所以$\angle ADB = \angle AEC = 90^{\circ}$。因为$\angle BAC = 45^{\circ}$，所以$\angle ABD = 90^{\circ} - \angle BAC = 45^{\circ}$，$\angle ACE = 90^{\circ} - \angle BAC = 45^{\circ}$，所以$\angle BAC = \angle ABD = \angle ACE$，所以$AD = BD$，$AE = CE$，所以$AB = \sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{2}AD$，$AC = \sqrt{AE^{2} + CE^{2}} = \sqrt{2}AE$，所以$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。又$\angle DAE = \angle BAC$，所以$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$，所以$\dfrac{DE}{BC} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。因为$BC = 2$，所以$DE = \sqrt{2}$。
【答案】C
【变式 1】
(2025·江苏连云港模拟)已知$AD$，$BE$是锐角三角形$ABC$的两条高，连接$DE$。若$CD = 6$，$AC = 8$，$DE = kAB$，则$k$的值为(
B
)
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{7}{8}$
答案：【变式1】B
解析：
在锐角三角形$ABC$中，$AD⊥ BC$，$BE⊥ AC$，则$\angle ADC = \angle BEC = 90°$。
因为$\angle C = \angle C$，所以$\triangle ADC ∼ \triangle BEC$，可得$\frac{CD}{CE}=\frac{AC}{BC}$，即$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{BC}$。
又因为$\angle C = \angle C$，所以$\triangle CDE ∼ \triangle CAB$，则$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{AC}$。
已知$CD = 6$，$AC = 8$，所以$\frac{DE}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，即$DE=\frac{3}{4}AB$，故$k = \frac{3}{4}$。
答案：$\frac{3}{4}$
典例 2
如图所示的四个三角形中，相似三角形有(
)
A.$1$对
B.$2$对
C.$3$对
D.$4$对
答案：【思路分析】由勾股定理，得三角形①的三边之比为$1:2:\sqrt{5}$，三角形②的三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{5}$，三角形③的三边之比为$1:2:\sqrt{5}$，三角形④的三边之比为$1:1:\sqrt{2}$。因为只有三角形①和三角形③的三边成比例，所以相似三角形有$1$对。
【答案】A
【变式 2】
在如图所示的正方形网格中，有$\triangle CEB$，$\triangle CDB$，$\triangle DEB$这三个斜三角形，其中与$\triangle ABC$相似的是
△DEB
。(点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$均在格点上)
答案：【变式2】△DEB
