典例 1
(2025·江苏苏州模拟)若 $ y=(a^{2}+a)x^{a^{2}-2a - 1}+2x $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则 $ a $ 的值为(
)
A.$ 3 $
B.$ -1 $ 或 $ 3 $
C.$ 1 $
D.$ -1 $
答案：【思路分析】因为该函数是关于 $ x $ 的二次函数，所以 $ a^{2}+a \neq 0 $，且 $ a^{2}-2a - 1 = 2 $，解得 $ a = 3 $。
【答案】A
【变式 1】若 $ y=(m + 1)x^{|m| + 1}+4x - 5 $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则一次函数 $ y = mx - m $ 的图像不经过第
二
象限。
答案：【变式1】二
解析：
因为$y=(m + 1)x^{|m| + 1}+4x - 5$是关于$x$的二次函数，所以$\begin{cases} |m| + 1 = 2 \\ m + 1 \neq 0 \end{cases}$。
由$|m| + 1 = 2$，得$|m| = 1$，即$m = \pm 1$。
由$m + 1 \neq 0$，得$m \neq -1$。
所以$m = 1$。
一次函数为$y = 1 · x - 1 = x - 1$，其图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限。
二
典例 2
如图，用长为 $ 21 \, \mathrm{m} $ 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为 $ 10 \, \mathrm{m} $)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃。为便于进出，留了 $ 3 $ 道宽均为 $ 1 \, \mathrm{m} $ 的门。设花圃的一边 $ AB $ 长为 $ x \, \mathrm{m} $，面积为 $ S \, \mathrm{m}^2 $，则 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为
，自变量 $ x $ 的取值范围为
。
答案：【思路分析】因为 $ AB = x \, \mathrm{m} $，所以 $ BC = (21 - 3x + 3) \, \mathrm{m} = (24 - 3x) \, \mathrm{m} $，所以 $ S = AB · BC = x(24 - 3x) = -3x^{2}+24x $。由题意，得 $ 0 ＜ 24 - 3x \leq 10 $，解得 $ \frac{14}{3} \leq x ＜ 8 $。故 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ S = -3x^{2}+24x $，自变量 $ x $ 的取值范围为 $ \frac{14}{3} \leq x ＜ 8 $。
【答案】$ S = -3x^{2}+24x $ $ \frac{14}{3} \leq x ＜ 8 $
【变式 2】新素养
应用意识 某校中学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处(墙的最大可用长度为 $ 8 \, \mathrm{m} $)，计划用 $ 15 \, \mathrm{m} $ 长的铁栅栏围成三个相连的矩形羊驼草料仓库，仓库总面积为 $ y \, \mathrm{m}^2 $，为方便取物，在各个仓库之间留出了 $ 1 \, \mathrm{m} $ 宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个 $ 1 \, \mathrm{m} $ 宽的缺口作小门。若设 $ AB = x \, \mathrm{m} $，则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为
$y = -4x^2 + 18x$
，自变量 $ x $ 的取值范围是
$\frac{5}{2}\leq x＜\frac{9}{2}$
。
答案：【变式2】$y = -4x^2 + 18x$ $\frac{5}{2}\leq x＜\frac{9}{2}$
