7. (4分)如图,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m.设矩形菜园的边AB的长为x m,面积为S $m^2$,其中AD≥AB.某学习小组给出下列结论:①x的取值范围为6≤x≤10;②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100 $m^2$;③矩形菜园ABCD面积的最大值为112.5 $m^2$.其中正确的是(
B
)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案：7.B
解析：
解：
①设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(30-2x)\ \mathrm{m}$。
由$AD \geq AB$得$30-2x \geq x$，即$x \leq 10$；
由墙长限制$BC \leq 18$得$30-2x \leq 18$，即$x \geq 6$。
故$x$的取值范围为$6 \leq x \leq 10$，①正确。
②面积$S=x(30-2x)=100$，即$2x^2-30x+100=0$，
解得$x=5$或$x=10$。
因$x=5$不在$6 \leq x \leq 10$内，故只有$x=10$满足，②错误。
③$S=-2x^2+30x=-2(x-\frac{15}{2})^2+\frac{225}{2}$，
当$x=\frac{15}{2}=7.5$时，$S_{\mathrm{max}}=112.5\ \mathrm{m}^2$，③正确。
综上，正确的是①③。
答案：B
8. (2025·江苏盐城模拟·4分)已知二次函数$y=(x+m-1)(x-m)+1$,A($x_1$,$y_1$),B($x_2$,$y_2$)($x_1＜x_2$)是其图像上的两点,则下列判断正确的是(
D
)
A.若$x_1+x_2＞-1$,则$y_1＞y_2$
B.若$x_1+x_2＜-1$,则$y_1＞y_2$
C.若$x_1+x_2＞1$,则$y_1＞y_2$
D.若$x_1+x_2＜1$,则$y_1＞y_2$
答案：8.D
解析：
将二次函数展开：$y=(x+m-1)(x-m)+1 = x^2 - x + (1 - m^2)$，其对称轴为直线$x = \frac{1}{2}$。
对于二次函数上两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$（$x_1 ＜ x_2$），当$x_1 + x_2 ＜ 1$时，$\frac{x_1 + x_2}{2} ＜ \frac{1}{2}$，即点$A$到对称轴的距离大于点$B$到对称轴的距离，又因为二次函数开口向上，所以$y_1 ＞ y_2$。
D
9. (4分)如图,正方形ABCD的面积为$a^2$($a＞0$),以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A'B'C'D'.若四边形A'B'C'D'外接圆的半径为$\sqrt{2}a$,则正方形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为(
C
)
A.1∶$\sqrt{2}$
B.1∶$\sqrt{3}$
C.1∶2
D.2∶1
答案：9.C
解析：
解：
∵正方形$ABCD$的面积为$a^2$，
∴边长$AB = a$，对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，
对角线交点到顶点距离（即正方形$ABCD$外接圆半径）为$\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
∵四边形$A'B'C'D'$外接圆半径为$\sqrt{2}a$，
∴两正方形外接圆半径比为$\frac{\sqrt{2}a}{2}:\sqrt{2}a = 1:2$。
∵位似图形的相似比等于对应外接圆半径比，
∴正方形$ABCD$与$A'B'C'D'$的相似比为$1:2$。
答案：C
10. (4分)如图,两次折叠等腰三角形纸片ABC,先使AB与AC重合,折痕为AD,展平纸片;再使点A与点C重合,折痕为EF,展平纸片,AD,EF交于点G.若AB=AC=5 cm,BC=6 cm,则DG的长为(
B
)
A.$\frac{3}{4}$ cm
B.$\frac{7}{8}$ cm
C.1 cm
D.$\frac{7}{6}$ cm
答案：10.B
解析：
解：
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，AD为折痕，
∴AD⊥BC，BD=DC=3cm。
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$cm。
设EF为折痕，A与C重合，E在BC上，F在AB上，EF垂直平分AC。
设AD与EF交于G，AG=GC，设DG=x，则AG=4-x，GC=4-x。
在Rt△GDC中，$DG^2+DC^2=GC^2$，即$x^2+3^2=(4-x)^2$。
解得$x=\frac{7}{8}$，即DG=$\frac{7}{8}$cm。
$\frac{7}{8}$
11. (5分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,连接BD,分别以点B,D为圆心,大于$\frac{1}{2}$BD的长为半径画弧,两弧交于点E,F,作直线EF分别交线段AB,BD于点G,H.连接CH,则四边形BCHG的周长为(
A
)
A.$\frac{21}{2}$
B.11
C.$\frac{23}{2}$
D.12
答案：11.A 解析：由作法可知EF垂直平分BD，所以BH=DH,EF⊥BD，所以∠BHG=90°.因为四边形ABCD为矩形，所以∠A=∠BCD=90°，BC=AD=3.因为AB=4,所以BD=$\sqrt{AB^2 + AD^2}$=5，所以CH=BH=$\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}$.因为∠BHG=∠A,∠HBG=∠ABD，所以△HBG∽△ABD，所以$\frac{BG}{BD}=\frac{HG}{AD}=\frac{BH}{AB}$，所以$\frac{BG}{5}=\frac{HG}{3}=\frac{\frac{5}{2}}{4}$，所以BG=$\frac{25}{8}$,HG=$\frac{15}{8}$，所以C$_{四边形BCHG}$=BC+CH+BG+HG=$\frac{21}{2}$.故四边形BCHG的周长为$\frac{21}{2}$.
12. (5分)如图,在平面直角坐标系中,O是原点,已知点A(-2,4),B(0,m)(0＜m＜4),P(-1,0),以AB为边构造△ABC,使点C在x轴上,且∠BAC=90°,M为BC的中点,连接PM,则PM长的最小值为(
C
)
A.$\frac{\sqrt{17}}{2}$
B.$\sqrt{17}$
C.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案：12.C 解析：过点A作AD⊥y轴于点D，过点C作CE⊥AD交DA的延长线于点E，则∠ODE=∠E=90°.因为∠COD=90°，所以四边形OCED为矩形，所以OC=DE,OD=CE.因为A(-2，4)，所以AD=2,CE=OD=4.因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=90°.又∠BAD+∠ABD=90°，所以∠ABD=∠CAE.又∠ADB=∠E，所以△ABD∽△CAE，所以$\frac{BD}{AE}=\frac{AD}{CE}=\frac{1}{2}$，所以AE=2BD.因为B(0，m)(0＜m＜4)，所以OB=m，所以BD=OD-OB=4-m，所以AE=8-2m，所以OC=DE=AD+AE=10-2m，所以C(2m-10,0).因为M为BC的中点，所以M($m-5,\frac{1}{2}m$).因为P(-1，0)，所以$PM^2=(m-4)^2+\frac{1}{4}m^2=\frac{5}{4}m^2 - 8m + 16=\frac{5}{4}(m-\frac{16}{5})^2+\frac{16}{5}$.因为$\frac{5}{4}＞0,0＜m＜4$，所以当m=$\frac{16}{5}$时，$PM^2$取最小值$\frac{16}{5}$，所以PM长的最小值为$\sqrt{\frac{16}{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
